Fast Walsh-Hadamard Transform——快速沃尔什变换(二)

上次的博客有点模糊的说...我把思路和算法实现说一说吧...

 

思路

关于快速沃尔什变换,为了方便起见,我们采用线性变换(非线性变换不会搞)。

那么,就会有一个变化前各数值在变换后各处的系数,即前一篇博文中的$f(i,j)$,表示线性变换中第$i$项到第$j$项的系数。

$$DWT(A)_i = \sum_{j=0}^{n-1} A_j * f(i,j)$$

那么,我们既然要求$\oplus$卷积在变换后等价于乘积,就有

$$DWT(A)_i * DWT(B)_i = DWT(C)_i$$

其中$C$是$A,B$的$\oplus$卷积。

那么,将线性变换式及卷积定义代入,并令对应项系数相等,就可得到结论:

$$f(i, j) * f(i, k) = f(i, j \oplus k)$$

那么,通过构造合适的$f(i,j)$,就可得出变换。

$f$函数的构造

我们以异或为例(因为这时最麻烦的)。

既然是位运算,那么我们就从位运算入手。

考虑位运算,我们只需要考虑一位的情况,对于多位运算需要将每位的结果相乘(注意是相乘,这很重要!)。

通过定义,我们得到

$$f(i, 0) * f(i, j) = f(i, 0 \oplus j) = f(i, j)$$

$$f(i, 1) * f(i, 1) = f(i, 0)$$

又由于我们不能使所有系数都相同,那么只能取

$$\begin{cases}
f(i, 0) &= 1\\
f(0, j) &= 1\\
f(1, 1) &= -1
\end{cases}$$

那么此时

$$DWT(a_0, a_1) = (a_0 + a_1, a_0 - a_1)$$

可以验证其满足规则。

算法实现:

要实现$FWT$,我们仿照快速傅里叶变换,首先将$A$分成两半$A_0, A_1$(按二进制最高位,即直接取前一半和后一半)递归调用$FWT$,然后,

合并时,根据下面的式子($i_0,i_1$分别表示$i$的最高位和剩余位):

$$\begin{aligned}
DWT(A)_i &= \sum_{j=0}^{n-1} f(i, j)A_j\\
&= \sum_{j=0}^{n/2-1}f(i,j)A_j + \sum_{j=n/2}^{n-1}f(i,j)A_j\\
&= \sum_{j=0}^{n/2-1}f(i_0,j_0)f(i_1,j_1)A_j + \sum_{j=n/2}^{n-1}f(i_0,j_0)f(i_1,j_1)A_j\\
&= \sum_{j=0}^{n/2-1}f(i_0,0)f(i_1,j_1)A_j + \sum_{j=n/2}^{n-1}f(i_0,1)f(i_1,j_1)A_j\\
&= f(i_0, 0)\sum_{j=0}^{n/2-1}f(i_1,j_1)A_j + f(i_1)\sum_{j=n/2}^{n-1}f(i_0,1)f(i_1,j_1)A_j\\
&= f(i_0, 0)*DWT(A_0)_{i_1} + f(i_0, 1)*DWT(A_1)_{i_1}\end{aligned}$$

其中由第2行到第3行是因为我们对多位的$f$直接定义为各位的$f$相乘,即

$$f(i,j)=f(i_0,j_0)*f(i_1,j_1)$$

那么,算法实现就简单多了。

FWT(A, len)
1 divide A into (A0, A1) 
2 FWT(A0, len/2)
3 FWT(A1, len/2)
4 for i=0 to len/2
5   A[i]=f00*A0[i]+f01*A1[i]
6   A[i+len/2]=f10*A0[i]+f11*A1[i]

关于逆变换嘛。。。你只需要告诉自己:我只是要处理刚被$FWT$变换过的数组,我只需要把它倒过来。

那么

IFWT(A, len)
1 divide A into (A0, A1) 
for i=0 to len/2
3   solve the equation set, where the unknown numbers are A0[i] and A1[i]:
4     f00*A0[i]+f01*A1[i]=A[i]
5     f10*A0[i]+f11*A1[i]=A[i+len/2]
6 IFWT(A0, len/2)
7 IFWT(A1, len/2)

(当然解二元一次方程组只需要手算出来就好啦)

把三种运算(即与,或,异或)的f给出来:

$$\begin{array}{c|cccc}
Ops & f_{00} & f_{01} & f_{10} & f_{11} \\
\hline
And & 1 & 1 & 0 & 1 \\
Or & 1 & 0 & 1 & 1 \\
Xor & 1 & 1 & 1 & -1 
\end{array}
$$

 

附三种运算变换代码:

 1 void FWT_And(int *A, int len) {
 2   if (len == 1) return;
 3   int len2 = len >> 1;
 4   FWT_And(A, len2);
 5   FWT_And(A + len2, len2);
 6   for (int i = 0; i < len2; ++i)
 7     A[i] += A[i + len2];
 8 }
 9 void IFWT_And(int *A, int len) {
10   if (len == 1) return;
11   int len2 = len >> 1;
12   for (int i = 0; i < len2; ++i)
13     A[i] -= A[i + len2];
14   IFWT_And(A, len2);
15   IFWT_And(A + len2, len2);
16 }
17 
18 void FWT_Or(int *A, int len) {
19   if (len == 1) return;
20   int len2 = len >> 1;
21   FWT_Or(A, len2);
22   FWT_Or(A + len2, len2);
23   for (int i = 0; i < len2; ++i)
24     A[i + len2] += A[i];
25 }
26 void IFWT_Or(int *A, int len) {
27   if (len == 1) return;
28   int len2 = len >> 1;
29   for (int i = 0; i < len2; ++i)
30     A[i + len2] -= A[i];
31   IFWT_Or(A, len2);
32   IFWT_Or(A + len2, len2);
33 }
34 
35 void FWT_Xor(int *A, int len) {
36   if (len == 1) return;
37   int len2 = len >> 1;
38   FWT_Xor(A, len2);
39   FWT_Xor(A + len2, len2);
40   for (int i = 0; i < len2; ++i) {
41     int x = A[i], y = A[i + len2];
42     A[i] = x + y;
43     A[i + len2] = x - y;
44   }
45 }
46 void IFWT_Xor(int *A, int len) {
47   if (len == 1) return;
48   int len2 = len >> 1;
49   for (int i = 0; i < len2; ++i) {
50     int x = A[i], y = A[i + len2];
51     A[i] = (x + y) >> 1;
52     A[i + len2] = (x - y) >> 1;
53   }
54   IFWT_Xor(A, len2);
55   IFWT_Xor(A + len2, len2);
56 }

 

posted @ 2017-06-10 21:02  _rqy  阅读(3674)  评论(0编辑  收藏  举报