杜教筛——省选前的学习1

BZOJ 3944 ——Sum 

题目要求给定一个数$N$,$N \leq 2^{32} - 1$,求

$$ans1 = \sum_{i = 1}^N \phi (i), ans2 = \sum_{i = 1}^N \mu (i) $$

——蛤?这个怎么做?我只知道线性筛。。。

先介绍$O(N)$的算法——线性筛。

由于Euler函数和Mobius函数都是积性函数(即对于$(a, b) = 1$, $f(ab) = f(a)f(b)$),可以利用类似贾志鹏线性筛的方法$O(n)$筛出1到$N$所有数的函数值。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 typedef long long LL;
 4 const int N = 1000050;
 5 LL phi[N], mobius[N];
 6 int pr[300000];
 7 void calc(int n) {                    //计算[1, n]的phi值及mobius值 
 8   memset(phi, -1, sizeof phi);
 9   memset(mobius, -1, sizeof mobius);
10   int prnum = 0, i, j;
11   phi[1] = mobius[1] = 1;
12   for (i = 2; i < n; ++i) {
13     if (phi[i] < 0) {
14       pr[prnum++] = i;
15       phi[i] = i - 1;
16       mobius[i] = -1;
17     }
18     for (j = 0; j < prnum && (LL)i * pr[j] <= n; ++j) {
19       if (i % pr[j]) {
20         phi[i * pr[j]] = phi[i] * (pr[j] - 1);
21         mobius[i * pr[j]] = -mobius[i];
22       } else {
23         phi[i * pr[j]] = phi[i] * pr[j];
24         mobius[i * pr[j]] = 0;
25         break;
26       }
27     }
28   }
29 }
30 int main() {                          //O(n) - O(1)
31   calc(1000000);
32   for (int i = 2; i <= 1000000; ++i) {
33     phi[i] += phi[i - 1];
34     mobius[i] += mobius[i - 1];
35   }
36   long long ans1 = 0, ans2 = 0;
37   int T, n;
38   scanf("%d", &T);
39   while (T--) {
40     scanf("%d", &n);
41     printf("%lld %lld", phi[n], mobius[n]);
42   }
43   return 0;
44 } 
线性筛

更一般的,如果我们有任意积性函数$f(i)$,那么我们可以利用贾志鹏线性筛求出每个数的最小质因数及其幂次,从而(在p为素数时$f(p^k)$可以快速计算的情况下)线性递推出所有[1,N]的函数值。

那么,下面我们来介绍重点——杜教筛。

首先介绍狄利克雷卷积:若f,g均为$\mathbb Z \rightarrow \mathbb C$的函数(称为数论函数),定义其狄利克雷卷积为

$$(f * g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d)g\left(\frac n d\right)$$

数论函数集与狄利克雷卷积形成群,这意味着狄利克雷卷积满足(设数论函数集为$\mathbf I$):

1. 结合律: $\forall f, g, k \in \mathbf I, (f * g) * k = f * (g * k)$

2. 单位元: $\exists \epsilon \in \mathbf I, \forall f \in \mathbf I, f * \epsilon = \epsilon * f = f$

3. 逆元:    $\forall f \in \mathbf I, \exists f \in \mathbf I, f * g = \epsilon$

4. 封闭性: $\forall f, g \in \mathbf I, f * g \in \mathbf I$

另外,狄利克雷卷积还满足交换律:

5. 交换律: $\forall f, g \in \mathbf I, f * g = g * f$

性质2的单位函数$\epsilon (n) = \left[n = 1\right] = \begin{cases}\ 1 & n = 1\\ \;0 & n > 1\\ \end{cases}$

有了狄利克雷卷积,我们来看一看杜教筛:

假设我们要计算$S(n) = \sum_{i = 1}^N f(i)$,其中$f \in \mathbf I$。

那么,假设$g \in \mathbf I, g(1) \not= 0$, 那么

$$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^N (f * g)(i) & = \sum_{i = 1}^N \sum_{d \mid i} g(d) f\left(\frac i d\right) \\
& = \sum_{d = 1}^N g(d) \sum_{1 \leq i \leq N, d | i} f\left(\frac i d\right) \\
& = \sum_{d = 1}^N g(d) \sum_{1 \leq i \leq \lfloor \frac n d \rfloor} f(i) \\
& = \sum_{d = 1}^N g(d) S\left(\left\lfloor \frac n d \right\rfloor\right) \end{aligned}$$

$$\sum_{i = 1}^N (f * g)(i)  = \sum_{d = 1}^N g(d) S\left(\left\lfloor \frac n d \right\rfloor\right)$$

$$\therefore \begin{equation} \label{recursion} g(1)S(n) = \sum_{i = 1}^N (f * g)(i)  - \sum_{i = 2}^N g(i) S\left(\left\lfloor \frac n i \right\rfloor\right)\end{equation}$$

如果我们能够快速地对$g$和$f * g$求和,那么由于所有的$\left\lfloor \frac n i \right\rfloor$只有$O(\sqrt n)$种,则对于所有$i \leq \sqrt n$ 和$i > \sqrt n$, 计算$S\left(\lfloor \frac n i \rfloor\right)$的时间复杂度为

$$O\left(\sum_{i = 1}^{\left\lfloor \sqrt n \right\rfloor} \sqrt i \right) + O\left(\sum_{i = 1}^{\left\lfloor \sqrt n \right\rfloor} \sqrt{\left\lfloor \frac n i\right\rfloor}  \right)$$

而第二项明显大一些, 它等于

$$O\left(\sum_{i = 1}^{\lfloor \sqrt n \rfloor} \lfloor \sqrt{\frac n i} \rfloor \right) \approx O\left(\int_0^{\sqrt n}\sqrt{\frac n x} dx\right) = O(n^{\frac34})$$

如果$f$为积性函数,还可以通过线性筛预处理$S(i)$的前$n^{\frac23}$项就能将复杂度降到$O\left(n^{\frac23}\right)$。

终于写完了,累死我了。蛤?还有?

考虑原题,定义$\mathbf 1: \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z, \mathbf 1(n) = 1$,易证$\mathbf 1 * \mu = \epsilon$(貌似这就是Mobius函数的定义之一)。

代入式$(\ref{recursion})$, 得

$$ans2(n) = 1  - \sum_{i = 2}^n ans2\left(\left\lfloor \frac n i \right\rfloor\right)$$

所以只要预处理出$S$的前$n^{\frac23}$项就可以$O\left(n^{\frac23}\right)$计算了。

同理,将$\mathbf 1$和$ans1$代入$(\ref{recursion})$,得

$$ans1(n) = \frac {n(n+1)}2  - \sum_{i = 2}^n ans1\left(\left\lfloor \frac n i \right\rfloor\right)$$

 AC代码:

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<map>
 4 typedef long long LL;
 5 typedef std::map<int, LL> Map;
 6 Map _phi, _mu;
 7 int n;
 8 const int N = 5000000;
 9 LL phi[N], mu[N];
10 int pr[1000000];
11 void init(int n) {                    //计算[1, n]的phi值及mu值 
12   memset(phi, -1, sizeof phi);
13   memset(mu, -1, sizeof mu);
14   int prnum = 0, i, j;
15   phi[1] = mu[1] = 1;
16   phi[0] = mu[0] = 0;
17   for (i = 2; i <= n; ++i) {
18     if (phi[i] < 0) {
19       pr[prnum++] = i;
20       phi[i] = i - 1;
21       mu[i] = -1;
22     }
23     for (j = 0; j < prnum && (LL)i * pr[j] <= n; ++j) {
24       if (i % pr[j]) {
25         phi[i * pr[j]] = phi[i] * (pr[j] - 1);
26         mu[i * pr[j]] = -mu[i];
27       } else {
28         phi[i * pr[j]] = phi[i] * pr[j];
29         mu[i * pr[j]] = 0;
30         break;
31       }
32     }
33   }
34   //for (i = 1; i <= 30; ++i) {
35   //  printf("%d %d\n", i, phi[i]);
36   //}
37   for (i = 2; i <= n; ++i) {
38     phi[i] += phi[i - 1];
39     mu[i] += mu[i - 1];
40   }
41 }
42 LL CalcPhi(LL n) {
43   Map::iterator it; 
44   if (n < N)
45     return phi[n];
46   if ((it = _phi.find(n)) != _phi.end())
47     return it->second;
48   LL i, last, ans = (LL)n * (n + 1) >> 1;
49   for (i = 2; i <= n; i = last + 1) {
50     last = n / (n / i);
51     ans -= (last - i + 1) * CalcPhi(n / i);
52   }
53   return _phi[n] = ans;
54 }
55 LL CalcMu(LL n) {
56   Map::iterator it; 
57   if (n < N)
58     return mu[n];
59   if ((it = _mu.find(n)) != _mu.end())
60     return it->second;
61   LL i, last, ans = 1;
62   for (i = 2; i <= n; i = last + 1) {
63     last = n / (n / i);
64     ans -= (last - i + 1) * CalcMu(n / i);
65   }
66   return _mu[n] = ans;
67 }
68 int main() {
69   //freopen("sum.in", "r", stdin);
70   //freopen("sum.out", "w", stdout);
71   init(N - 1);
72   int T;
73   scanf("%d", &T);
74   while (T--) {
75     scanf("%d", &n);
76     printf("%lld %lld\n", CalcPhi(n), CalcMu(n));
77   }
78   return 0;
79 } 
杜教筛

 

posted @ 2017-03-07 15:14 _rqy 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏