ABC311补题

A

小丑题

B

小丑题

C

_题意：给定一张 $ n $ 个节点的图，每个节点有且仅有一条出边，求任意一条原图的环。It can be shown that a solution exists under the constraints of this problem.

显然原图不一定联通。

对于图的一个连通块，容易发现该连通块有且仅有一个环：

1. 若无环，则定有一点出度为 $ 0 $，与题意矛盾

2. 若有超过两个环，则定有一点出度大于等于 $ 2 $，与题意矛盾。

于是就可以从图上任意一点开始进行 dfs，一路标记，直至遇到已经 dfs 过的点（也就是找到了一个环），输出即可。

由于一个点有且仅有一条出边，所以在 dfs 的过程中一定会遇到环。

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D

小丑题，直接 dfs 即可。

细节挺多（好像也不是特别多），vis数组、dfs 函数需要比原来多维护一个方向信息。

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E

题意：在 $ H $ 行 $ W $ 列的矩形中有 $ N $ 个特殊点，要求计算出矩形内所有不包含特殊点的正方形数量。

DP 好题。

设 $ f_{i,j} $ 为 以 $ (i,j) $ 为右下角端点的正方形数量。

如何转移？

设一个合法正方形边长为 $ a $。

则要求边长为 $ a $ 的正方形包含的蓝色、红色、绿色区域不能有特殊点；

也就是说，如果有一方特殊点在该正方形内，边长为 $ a $ 的以 $ (i,j) $ 为右下角端点的正方形不存在（废话）。

观察到与最大合法正方形相关。

设最大合法正方形边长为 $ a_0 $；

那么 $ f_{i,j} = a_0 $。

于是问题转化为如何转移出 $ a_0 $，并且发现 $ f_{i,j} $ 的另一含义是以 $ (i,j) $ 为右下角端点的最大合法正方形边长。

容易发现，$ a_0 = \min\{f_{i,j-1},f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}\} + 1$.

于是得到状态转移方程：

$ f_{i,j} = \min\{f_{i,j-1},f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}\} + 1 $.

暴力 DP 即可。

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双倍经验 (从计数改成求最大值)

F

有 $ n \times m $ 的网格，有一些点为 $ 1 $，其余点为 $ 0 $。可以将 $ 1 $ 染色为 $ 0 $。求合法染色方案数。

定义一个染色方案合法当且仅当对于任意整数 $ i \in [1,n),j \in [1,m) $ 且 $ (i,j) $ 为 $ 1 $，有 $ (i+1,j+1),(i+1,j) $ 为 $ 1 $。

对 $ 998244353 $ 取模。

根据题意，不难发现：

1. 如果一个点 $ (i,j) $ 为 $ 1 $，那么 $ (i+1,j) $ 及以下的点均为 $ 1 $。
2. 如果一个点 $ (i,j) $ 为 $ 1 $，那么 $ (i-2,j-1) $ 及以上的点均为 $ 0 $。

（对后续转移有大用）

设 $ f_{i,j} $ 为以 $ (i,j) $ 为黑色点且上方均为白色点时的方案数，$ top_j $ 为初始状态时第 $ j $ 列最上方的黑色点的行坐标。

写出转移方程：

$ f_{i,j} = \sum f_{k,j-1}$，其中$k \in \max [\{1, i+1\},n],i \in [1, top_j] $。

发现 $ \sum $ 那坨东西可以用前缀和优化掉。

细节挺多，主要是各种边界条件。

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G

我不会，长大后再学习。

Ex

我不会，长大后再学习。

后记：

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