字符串科技

你说的对，但字符串或串(String)是由数字、字母、下划线组成的一串字符。一般记为 s="a1a2···an"(n>=0)。它是编程语言中表示文本的数据类型。在程序设计中，字符串（string）为符号或数值的一个连续序列，如符号串（一串字符）或二进制数字串（一串二进制数字）。

字符串匹配

你说的对，但字符串匹配是计算机科学中最古老、研究最广泛的问题之一。一个字符串是一个定义在有限字母表∑上的字符序列。例如，ATCTAGAGA是字母表∑ = {A,C,G,T}上的一个字符串。字符串匹配问题就是在一个大的字符串T中搜索某个字符串P的所有出现位置。其中，T称为文本，P称为模式，T和P都定义在同一个字母表∑上。

一些定义：

字符串匹配：又称模式匹配（pattern matching）。该问题可以概括为「给定字符串 $ S $ 和 $ T $，在主串 $ S $ 中寻找子串 $ T $」。字符 $ T $ 称为 模式串 (pattern)。

暴力做法：从主串 $ S $ 的每个位置开始与模式串 $ T $ 向后匹配，若匹配不成功，则从主串下一个位置与模式串重新匹配。

时间复杂度：$ O(nm) $

实际上暴力算法在随机数据下表现良好——匹配成功的字符数量越多，匹配的概率越低。

但卡到 $ O(nm) $ 也很容易(

KMP 算法

主要思想：充分利用匹配失败的信息，跳过某些已经判断为匹配失败的位置。

如果字符串 $ s $ 的长度为 $ d $ 的前缀 $(1≤d<|s|)$ 和长度为 $ d $ 的后缀相等，称这个前缀是 $ s $ 的一个 border ，将前缀 $ s[1…i] $ 的最长 border 长度记作 $ next(i) $。

border 的性质：$ s[1…i] $ 的所有 border 长度分别为 $ next(i),next(next(i)),next(next(next(i)))... $。

如果当前已经成功匹配了 $ i $ 个字符，且第 $ i+1 $ 个字符不匹配，那么根据 $ next(i) $ 的定义，主串 $ S $ 中从后往前数 $ next(i) $ 位也一定都与模式串 $ T $ 中 $ 1 \sim next(i) $ 位匹配。

于是将 $ T $ 上匹配指针从 $ i $ 转到 $ next(i) $，再与 $ S $ 的字符匹配。

有点抽象，举个栗子：

S ABABABC
T ABABC

算出 $ next(i) $：

next 0 0 1 2 0

第一次匹配失败：

S ABAB.ABC
T ABAB.C
next 0 0 1 2 0

将 $ T $ 上匹配指针从 $ 4 $ 转到 $ next(4) $，继续匹配：

S ABABABC
T   ABABC
next 0 0 1 2 0

匹配成功。

这样做是 $ O(n) $ 的，因为 $ j $ 只能在匹配成功时增加 $ 1 $，最多增加 $ n $ 次，从而最多减少 $ n $ 次，也就是嵌套 $ next(i) $ 最多 $ n $ 次。

于是问题就在于如何快速求出 $ next(i) $。

暴力求显然不现实，考虑线性递推。

已知 $ next(1) \sim next(i) $，考虑如何计算出 $ next(i+1) $：

令 $ j = next(i) + 1 $

如果 $ s[j] $ 与 $ s[i+1] $ 不相等，就让 $ next(j) \to j $，直至 $ s[j] $ 与 $ s[i+1] $ 相等，此时 $ next(i+1) = next(j) + 1 $。

发现计算 $ next(i) $ 的过程实际上就是 $ S $ 与本身匹配。