划分树
一、相关定义
【主要特征】
- 主要用于求解给定区间的第k大的元素；
- 时间复杂度为O（logn）；
- 快排也可以快速找出，但快排会改变原序列，每求一次都得恢复序列。
【划分树】
预处理：
- ①int a[maxn]; //存储题目给定的原序列
- ②int sorted[maxn]; //将原序列按由小至大的顺序排序得到新序列，并将新序列存入sorted数组
建立步骤：
- 将由n 个数组成的序列不断划分；
- 根结点就是原序列；
- ①父结点所有元素排序后的前一半（即l~mid）保持其在原序列中的相对顺序存入左孩子；
- ②父结点所有元素排序后的后一半（即mid+1~r）保持其在原序列中的相对顺序存入右孩子；
- 对每个子结点，也分别执行上述①②的操作，直到结点中只有一个元素为止。
见下图：
红点标记的是将从本节点进入左孩子的元素。
关键点：
需要一个辅助数组“int num[maxn];”；
num[i]表示第i个数之前(包括i)有多少个数进入左孩子。
二、算法模板
【存储结构】
//采用层次存储结构（由下而上，由左到右，每层两个孩子）
const int N=1e5+5;
int sorted[N]; //对原来集合中的元素排序后的值
struct node
{
int valu[N]; //val记录第k层当前位置元素的值
int num[N]; //num记录元素所在区间的当前位置及之前进入左孩子的个数
LL sum[N]; //sum记录比当前元素小的元素的和
}t[20]; //设划分树有20层
【建树】
过程：
- 找到序列的中位数，将大于中位数的扔到中位数的左边，小于中位数的扔到数的右边；（要按在原序列的相对位置扔）
- 对每个子区间，也分别执行第一步操作，直到序列中只有一个元素为止。
可以看出，建树是一个递归的过程，与线段树的建树有相似之处。
注意：
- 建树划分的标准是中位数，所以需要排序；（只需排一次序，想想why，想不通点击）
- 划分的过程，需要记录第i层[1,j]之间有多个数据被分到了左边（注意这里用的是闭区间）。
模板说明：
- 划分树的建立和普通的二叉树的建立过程差不多，仍然采取先序的过程（先根节点，然后左右孩子）
- 树的建立相对比较简单，我们依据的是已经排好序的位置进行建树，所以先用快排将原集合还序
- 要维护每个节点的num域
模板版本（一）
在版本一里，每个区间的起点的num[ind][lft]和sum[ind][lft]都会被赋值为0
void build(int lft,int rht,int ind)
{
if(lft==rht) return;
int mid=lft+(rht-lft)>>1;
int isame=mid-lft+1,same=0;
/* isame用来标记和中间值val_mid相等的，且分到左孩子的数的个数；
初始时，假定当前区间[lft,rht]有mid-lft+1个和valu_mid相等。
先踢掉比中间值小的，剩下的就是要插入到左边的
*/
for(int i=lft;i<=rht;i++)
if(t[ind].valu[i]<sorted[mid]) isame--;
int ln=lft,rn=mid+1;
for(int i=lft;i<=rht;i++)
{
if(i==lft) //初始一个子树
{
t[p].num[i]=0;
t[p].sum[i]=0;
}
else //初始区间下一个节点
{
t[p].num[i]=t[p].num[i-1];
t[p].sum[i]=t[p].sum[i-1];
}
/* 如果大于，肯定进入右孩子；否则判断是否还有相等的应该进入左孩子的，
没有，直接进入右孩子，否则进入左孩子，同时更新节点的sum域和num域
*/
if(t[p].val[i]<sorted[mid])
{
t[p].num[i]++;
t[p].sum[i]+=t[p].valu[i];
t[p+1].valu[ln++]=t[p].valu[i];
}
else if(t[p].valu[i]>sorted[mid])
t[p+1].valu[rn++]=t[p].valu[i];
else
{
if(same<isame)
{
same++;
t[p].num[i]++;
t[p].sum[i]+=t[p].valu[i];
t[p+1].valu[ln++]=t[p].valu[i];
}
else
{
t[p+1].valu[rn++]=t[p].valu[i];
}
}
}
build(lft,mid,ind+1);
build(mid+1,rht,ind+1);
}
模板版本（二）
在版本一里，每个区间的起点的num[ind][lft]和sum[ind][lft]都会被赋值为0。而这个版本中并没有这么做，而是在前面的基础上继续。也就是说只有将num[ind][0]和sum[ind][0]赋值为0。另外这个版本里我将排序后的数组是order而不是sorted。
void build(int lft,int rht,int ind)
{
if(lft==rht) return;
int mid=MID(lft,rht);
int same=mid-lft+1,ln=lft,rn=mid+1;
for(int i=lft;i<=rht;i++)
if(valu[ind][i]<order[mid]) same--;
for(int i=lft;i<=rht;i++)
{
int flag=0;
if((valu[ind][i]<order[mid])||valu[ind][i]==order[mid]&&same>0)
{
flag=1;
valu[ind+1][ln++]=valu[ind][i];
if(valu[ind][i]==order[mid]) same--;
lsum[ind][i]=lsum[ind][i-1]+valu[ind][i];
}
else
{
lsum[ind][i]=lsum[ind][i-1];
valu[ind+1][rn++]=valu[ind][i];
}
toLft[ind][i]=toLft[ind][i-1]+flag;
}
build(lft,mid,ind+1);
build(mid+1,rht,ind+1);
}
【查找】
在区间[a,b]上查找第k大的元素，同时返回它的位置和区间小于[a,b]的所有数的和。
- 如果t[p].num[b]-t[p].num[a-1]>=k，即，进入p的左孩子的个数已经超过k个，那么就往左孩子里面查找，同时更新[a,b]=>[lft+t[p].num[a-1]，lft+t[p].num[b]-1]
- 如果t[p].num[b]-t[p].num[a-1]<k，即，进入p的左孩子的个数小于k个，那么就要往右孩子查找第k-s(s表示进入左孩子的个数)个元素。同时更新sum域，因而这样求出的sum只是严格小于在[a,b]区间中第k大的数的和。
模板版本（一）
/*在区间[a,b]上查找第k大元素，同时sum返回区间[a,b]中小于第k大元素的和*/
int query(int a,int b,int k,int p,int lft,int rht)
{
if(lft==rht) return t[p].valu[a];
/*到达叶子结点就找到该元素，返回
S 记录区间[a,b]中进入左孩子的元素的个数
SS 记录区间[lft,a-1]中进入左孩子的元素的个数
SSS 记录区间[a,b]中小于第k大的元素的值和
B2 表示[lft,a-1]中分到右孩子的个数
BB 表示[a,b]中分到右孩子的个数
*/
int s,ss,b2,bb,mid=lft+(rht-lft)/2;
double sss=0;
if(a==lft)//端点重合的情况，单独考虑
{
s = t[p].num[b];
ss = 0;
sss = t[p].sum[b];
}
else
{
s = t[p].num[b] - t[p].num[a-1];
ss = t[p].num[a-1];
sss = t[p].sum[b] - t[p].sum[a-1];
}
if(s>=k) //进入左孩子，同时更新区间端点值。
{
a = lft + ss;//
b = lft + ss + s - 1;
return query(a, b, k, p+1, lft, mid);
}
else
{
bb = a - lft - ss;
b2 = b - a - 1 - s;
a = mid + bb + 1;
b = mid + bb + b2;
sum += sss;
return query(a,b,k-s,p+1,mid+1,rht);
}
}
模板版本（二）
/*在区间[a,b]上查找第k大元素，同时sum返回区间[a,b]中小于第k大元素的和*/
int query(int st,int ed,int k,int lft,int rht,int ind)
{
if(lft==rht) return valu[ind][lft];
/*
lx表示从lft到st-1这段区间内有多少个数进入左子树
ly表示从st到ed这段区间内有多少个数进入左子树
rx表示从lft到st-1这段区间内有多少个数进入右子树
ry表示从st到ed这段区间内有多少个数进入右子树
*/
int mid=MID(lft,rht);
int lx=toLft[ind][st-1]-toLft[ind][lft-1];
int ly=toLft[ind][ed]-toLft[ind][st-1];
int rx=st-1-lft+1-lx;
int ry=ed-st+1-ly;
if(ly>=k) return query(lft+lx,lft+lx+ly-1,k,lft,mid,ind+1);
else
{
isum+=lsum[ind][ed]-lsum[ind][st-1];
st=mid+1+rx;
ed=mid+1+rx+ry-1;
return query(st,ed,k-ly,mid+1,rht,ind+1);
}
}
三、结合题目
题目：POJ 2104
题目意思：给你n 个数的原序列，有m次询问，每次询问给出l、r、k，求原序列l到r之间第k大的数。n范围10万，m范围5千。
提示：这道题用快排也可以过，快排过的时间复杂度n*m，而划分树是m*logn（实际上应该是nlogn才对，因为建图时间是nlogn，n又比m大），分别AC后，时间相差很明显。
题解：点击
风格一：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MID(a,b) (a+((b-a)>>1))
const int N=1e5+5;
struct node
{
int valu[N],num[N];
};
struct P_Tree
{
int n,order[N];
node t[20];
void init(int len)
{
n=len;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&order[i]);
t[0].valu[i]=order[i];
}
sort(order+1,order+1+n);
build(1,n,0);
}
void build(int lft,int rht,int ind)
{
//cout<<lft<<" "<<rht<<endl;
if(lft==rht) return;
int mid=MID(lft,rht);
int lsame=mid-lft+1,same=0,ln=lft,rn=mid+1;
for(int i=lft;i<=rht;i++)
if(t[ind].valu[i]<order[mid]) lsame--;
for(int i=lft;i<=rht;i++)
{
if(i==lft) t[ind].num[i]=0;
else t[ind].num[i]+=t[ind].num[i-1];
if(t[ind].valu[i]<order[mid])
t[ind].num[i]++,t[ind+1].valu[ln++]=t[ind].valu[i];
else if(t[ind].valu[i]>order[mid])
t[ind+1].valu[rn++]=t[ind].valu[i];
else
{
same++;
if(lsame>=same)
t[ind].num[i]++,t[ind+1].valu[ln++]=t[ind].valu[i];
else t[ind+1].valu[rn++]=t[ind].valu[i];
}
}
build(lft,mid,ind+1);
build(mid+1,rht,ind+1);
}
int query(int st,int ed,int k,int lft,int rht,int ind)
{
if(lft==rht) return t[ind].valu[lft];
int lx,ly,rx,ry,mid=MID(lft,rht);
if(st==lft) lx=0,ly=t[ind].num[ed];
else lx=t[ind].num[st-1],ly=t[ind].num[ed]-t[ind].num[st-1];
if(ly>=k)
{
st=lft+lx;
ed=lft+lx+ly-1;
return query(st,ed,k,lft,mid,ind+1);
}
else
{
rx=st-1-lft+1-lx;
ry=ed-st+1-ly;
st=mid+1+rx;
ed=mid+1+rx+ry-1;
return query(st,ed,k-ly,mid+1,rht,ind+1);
}
}
}tree;
int main()
{
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
tree.init(n);
for(int i=0;i<m;i++)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
int res=tree.query(a,b,c,1,n,0);
printf("%d\n",res);
}
}
return 0;
}
风格二：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MID(a,b) (a+((b-a)>>1))
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
struct P_Tree
{
int n,order[N];
int valu[20][N],num[20][N];
LL sum[N],lsum[20][N],isum;
void init(int len)
{
n=len; sum[0]=0;
for(int i=0;i<20;i++) valu[i][0]=0,num[i][0]=0,lsum[i][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&order[i]);
valu[0][i]=order[i];
sum[i]=sum[i-1]+order[i];
}
sort(order+1,order+1+n);
build(1,n,0);
}
void build(int lft,int rht,int ind)
{
if(lft==rht) return;
int mid=MID(lft,rht);
int same=mid-lft+1,ln=lft,rn=mid+1;
for(int i=lft;i<=rht;i++)
if(valu[ind][i]<order[mid]) same--;
for(int i=lft;i<=rht;i++)
{
int flag=0;
if((valu[ind][i]<order[mid])||(valu[ind][i]==order[mid]&&same))
{
flag=1;
valu[ind+1][ln++]=valu[ind][i];
lsum[ind][i]=lsum[ind][i-1]+valu[ind][i];
if(valu[ind][i]==order[mid]) same--;
}
else
{
valu[ind+1][rn++]=valu[ind][i];
lsum[ind][i]=lsum[ind][i-1];
}
num[ind][i]=num[ind][i-1]+flag;
}
build(lft,mid,ind+1);
build(mid+1,rht,ind+1);
}
int query(int st,int ed,int k,int lft,int rht,int ind)
{
if(lft==rht) return valu[ind][lft];
int mid=MID(lft,rht);
int lx=num[ind][st-1]-num[ind][lft-1];
int ly=num[ind][ed]-num[ind][st-1];
int rx=st-1-lft+1-lx;
int ry=ed-st+1-ly;
if(ly>=k) return query(lft+lx,lft+lx+ly-1,k,lft,mid,ind+1);
else
{
isum+=lsum[ind][ed]-lsum[ind][st-1];
st=mid+1+rx;
ed=mid+1+rx+ry-1;
return query(st,ed,k-ly,mid+1,rht,ind+1);
}
}
}tree;
int main()
{
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
tree.init(n);
for(int i=0;i<m;i++)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
int res=tree.query(a,b,c,1,n,0);
printf("%d\n",res);
}
}
return 0;
}
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