时间复杂度

时间复杂度分析

递归操作

主定理

摊还分析

设 \(n\) 次操作总复杂度为 \(T(n)\)，每次操作复杂度 \(O(\frac{T(n)}{n})\)

求 \(T(n)\)

栈

定义新操作 \(multipop(k)\) 一次性弹出 \(k\) 个数，操作 \(n\) 次，同时有 \(push\;pop\)

二进制

每次给一个 \(k\) 位二进制串最低位 \(+1\)，初始为全 \(0\)，每次进位 \(O(1)\)

聚合法

eg1：所有 \(pop\) 的操作最多执行 \(n\) 次，所以是 \(T(n)=O(n)\)

eg2：最低位每次都要变 \(O(n)\) 倒数第二位每两次变一次 \(O(\frac n2)\)

\[T(n)=\sum_{i=0}^{k-1} \frac{n}{2^i} \leq 2n \]

记帐法

保证每次自己的存款 \(\geq 0\) 即可

eg1：设 \(push\) 表示花 \(1\) 元，存 \(1\) 元，\(pop/multipop\) 花 \(1\) 元

\(pop/multipop\) 数少于 \(push\) 数，存款 \(\geq 0\)

最多 \(push\) \(n\)，\(T(n)=2n\)

eg2：\(0 \to 1\) 花 \(1\) 元，存 \(1\) 元，\(1 \to 0\) 花 \(0\) 元

每次出现 \(1\) 必然原位置 \(0\) 存了 \(1\) 元变回来，存款 \(\geq 0\)

最多 \(n\) 位 \(1\)，\(T(n)=2n\)

例题

1.\(vector\) 初始空间为 \(0\)，第一次插入变 \(1\) 后面每次空间到达上界，空间变为 \(2\)倍，插入/扩展每个元素都是 \(O(1)\)

聚合法

设扩张了 \(k\) 次，扩展总复杂度 $$O(\Sigma_{i=1}^{k} 2^{i-1} =2^k-1)$$

\[2^{k-1} \lt n \leq 2^k \]

\[2^{k} \lt 2n \]

插入 \(O(n)\)，\(T(n) \lt 3n-1\)

2.对 \(a_1,.....a_n\) 两两求 \(gcd\) 得所有数 \(gcd\) 的复杂度

单次 \(gcd\) \(O(\log \frac{min(a,b)}{gcd(a,b)})+\Theta (1)\)

势能法

\(a_i\) 每次实际操作复杂度

构造势能函数 \(\phi(i)\)，且 \(b_i=\phi(i)-\phi(i-1)\)

\[\sum a_i=\sum b_i+\phi(0)-\phi(n) \]