BZOJ 2818 GCD 素数筛+欧拉函数+前缀和

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

题意：给定整数N，求1<=x,y<=n且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对

思路：先筛出n以内所有的素数顺便筛出欧拉函数，\(gcd(x,y)=k\)等价于\(gcd(\frac{x}{k},\frac{y}{k})=1\)

所以这个问题可以转化为求\(ans=\sum_{i=1}^{tot}\sum_{j=1}^{n/prime[i]}phi[j]\) ，tot为n以内素数个数，

这个公式可以前缀和优化，暴力枚举也能过，而且时间居然只慢了20ms....

求得的结果只是一半的情况,当\(x\not=y,(x,y)\not=(y,x)\),而x=y的情况只有tot种,(2,2),(3,3),(5,5)....(prime[tot],prime[tot]),

所以答案为\(ans*2-tot\)

c++ #include<bits/stdc++.h> #define fi first #define se second using namespace std; typedef long long ll; const double PI=acos(-1.0); const double eps=1e-6; const ll inf=1e18; const int mod=1e9+7; const int maxn=1e7+10; bool b[maxn]; int prime[maxn],tot,n; ll phi[maxn]; void init(int n){ b[0]=b[1]=phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!b[i]){ prime[++tot]=i; phi[i]=i-1; } for(int j=1;j<=tot;j++){ if(i*prime[j]>n) break; b[i*prime[j]]=1; phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]]; if(i%prime[j]==0){ phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; } } } for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1]; } int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin>>n; init(n); ll ans=0,cnt=0; for(int i=1;i<=tot;i++){ ans+=phi[n/prime[i]]; } cout<<ans*2-tot<<endl; return 0; }