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# 专升本数学

第一章 函数

1.函数的定义

image-20221221163011949

2.函数的性质

1）有界性

定义

image-20221223161342077

常见函数

image-20221223161444527

2）单调性

定义

image-20221223161617237

例

image-20221223161828193

3）周期性

定义

image-20221223161924632

常见函数

image-20221223162101623

4）奇偶性

定义

image-20221223162848278

注意：

函数f(x)的定义域关于原点对称为奇偶性的前提

常见函数

image-20221223162937288

image-20221223163225233

四则

image-20221223163606692

案例
例01

image-20221223163824604

由于不满足：

image-20221223163910779

所以：非奇非偶

例02

image-20221223164011387

IMG_20221223_164813

例03

image-20221223170146391

IMG_20221223_170304

3.基本初等函数

1）幂函数

表达式

y = xa (a为实数)

常见函数

image-20221223172830203

image-20221223172907337

image-20221223173148602

计算法则

image-20221223173605994

2）指数函数

表达式

image-20221223201602317

特点

image-20221223201744804

常见函数

y=ex , a=e=2.718281828.... >1

计算法则
tip

计算法则与幂函数相同

3）对数函数

表达式

image-20221223202503101

性质

image-20221223202708487

计算法则

image-20221223203004477

image-20221223203224052

image-20221223203624068

指数函数和对数函数的关系

image-20221223202819479

4）三角函数

三种常见的三角函数

image-20221223203845311

image-20221223203919704

函数变形

image-20221223204428746

角度与弧度对应表

image-20221223204305787

三角函数值对应表

image-20221223204332196

三角函数基本公式
关系式

image-20221223204638908

二倍角公式

image-20221223204710387

两角和与差

image-20221223204756971

反三角函数

image-20221223205504846

image-20221223205543163

计算反三角函数的值

image-20221223205635149

5）复合函数

定义：

image-20221223210048415

例题

image-20221223210246619

image-20221223210329603

4.函数的应用

求函数表达式

题01

image-20221224092441298

方法一：换元法

image-20221224092632879

tip

将x=t-1 代入 f(x+1) ==> f(t-1+1) = f(t)

方法二：配凑法

image-20221224093033553

tip

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

题02

image-20221224093338585

解：

image-20221224093640795

求函数定义域

常见函数定义域

image-20221224094122191

题01

image-20221224105219664

image-20221224113722610

题02：抽象型函数求定义域

image-20221224114223087

解：

image-20221224114353979

题03：抽象型函数求定义域

image-20221224115801844

解：

image-20221224120555174

tip

这一题与上一条属于逆推题，即：

已知f(x)的定义域（2a,2b）求f(2x) 可得 ==> 2a<2x<2b ==> a<x<b 即 f(2x)的定义域为 (a,b)

已知f(2x)的定义域（a,b） 求f(x) 可得 ==> a<x<b ==> 2a<2x<2b 即f(x) 的定义域为 （2a,2b）

求反函数

定义：

image-20221224121839131

简单举例

image-20221224121925986

例题

image-20221224122025709

真题

image-20221224122059688

解：

image-20221224122159756

image-20221224122313856

第一章 极限

定义：

image-20221224202306679

简单举例

image-20221224202422363

左右极限

定义

image-20221224202601992

极限存在定理

定义

image-20221224202914405

例题01

image-20221224203022280

例题02

image-20221224203137262

极限的运算法则

image-20221224203309091

什么时候区分左右极限

image-20221224204902711

例题01

image-20221224205255746

例题02

image-20221224205527967

例题03

image-20221224205735771

例题04

image-20230108225641171

image-20230108225626714

例题05

image-20230108225824047

例题06

image-20230108230151869

无穷大与无穷小

无穷大

x->∞ （包含-∞ 和 +∞）

无穷小

x -> 0 或者 x = 0

描述示例

image-20221228135252306

无穷小与无穷大的关系

image-20221228140003025

无穷小的运算规则

a. 有限个无穷小的和是无穷小

b. 有限个无穷小的积是无穷小

c. 有界量乘无穷小量为无穷小

无穷小的比较

image-20230102152336089

image-20230102152702538

image-20230102152710493

image-20230102152758326

image-20230102152805249

例题

image-20230108221018429

题型：常见的等价无穷小
tip

等价无穷小只能（准确的说是泰乐公式）用在乘除法中，不能用在加减法中。

image-20230102152904364

image-20230102153133914

题01

image-20230108213122805

题02

image-20230108213235042

题03

image-20230108213348848

题04

image-20230108214426893

image-20230108214726932

题05

image-20230108214827247

题型：∞/∞型极限计算

image-20230108215002754

题01

方法：抓大头（小题用）

image-20230108215116573

大题：除最高次

image-20230108215316914

题02

image-20230108215439697

题03

image-20230108215847780

题型：洛必达法则

image-20230108220357827

题01

image-20230108220443768

题02

image-20230108220616994

题型：0 x ∞型极限计算

image-20230108221333166

题01

image-20230108221421565

题02

image-20230108221528730

题型：∞-∞型

image-20230108221717105

题01

image-20230108221803721

积分经常运用：

image-20230108222015335

题02

image-20230108222145247

题型 1的∞次方型

image-20230108223321204

image-20230108223432204

题01

image-20230108223409943

题02

image-20230108223616706

题03

image-20230108223857335

题型： 00 型

image-20230108224056374

题01

image-20230108224310589

题02

image-20230108224603344

两个重要极限

image-20230112212524512

夹逼定理

image-20230108224946673

题01

image-20230108225058749

image-20230108225426212

连续

image-20230108230306087

例题01

image-20230108230413079

image-20230108230506409

例题02

image-20230108230536838

连续

image-20230116161243835

image-20230116161348045

导数

是什么

表达式描述：

image-20230106154207083

百度百科：

image-20230106154546820

例题：导数定义形式一

例题01

f(x) = x2

求导公式求解

image-20230106171352698

定义形式一求解

image-20230106171427205

例题02

image-20230106171456561

此时使用求导公式明显太复杂

使用定义形式一求解：

image-20230106171707851

例题03

image-20230106171727200

image-20230106171850925

题型：已知极限求导数

题01

image-20230106172326700

image-20230106172608158

详解请看视频,时间：11:19：https://www.bilibili.com/video/BV1Gb4y1Y7mf?p=38&vd_source=dad79760623d5f1b20c813bc182c797f

题型：已知极限求导数

题01

image-20230106172716836

image-20230106173119251

题型：使用泛化导数定义形式二

题01

image-20230106173650667

image-20230106173702954

去“f”法

image-20230106173719595

凑定义式

image-20230106173838837

题02

image-20230106174002412

去“f”法

image-20230106174029846

image-20230106174111026

题03

image-20230106174254942

image-20230106174505275

左右导与导数存在定理

左右导

image-20230106174858760

导数存在定理

image-20230106175027745

例题

01

image-20230106175247778

image-20230106175327101

02

image-20230106175350818

image-20230106175407952

image-20230106175601390

image-20230106175704052

可导与连续的关系

image-20230106184256346

例题

image-20230106184408582

image-20230106184424202

image-20230106184455495

image-20230106184739330

基本函数求导公式

image-20230106185217730

tip

(ex)’ = ex

导数的四则运算法则

image-20230106185347932

复合函数求导

image-20230107160316936

求导的不同表示形式

image-20230110214042466

抽象函数求导

image-20230110214636876

例题

01

image-20230110215017543

02

image-20230110215112700

03

image-20230110215216234

微分和导数的关系

image-20230110215603224

求微分例题

01

image-20230110215750080

02

image-20230110215850200

复杂函数求导

01

image-20230110220628951

02

image-20230110220835705

03

image-20230110221400968

参数方程求导

image-20230110221540972

image-20230110221653483

例题

01

image-20230110221924726

02

image-20230110222107012

03

image-20230110222234783

隐函数求导

image-20230110222456278

例题

01

image-20230110222529902

02

image-20230110222610620

03

image-20230110223052229

分段函数求导

image-20230110223148802

例题

01

image-20230110223343226

02

image-20230110223755132

03

image-20230110224151485

幂指函数求导

image-20230110225207825

例题

01

image-20230110225322134

02

image-20230110225531920

03

image-20230110225915782

04

image-20230110225945416

05

image-20230110230153543

例题总结

image-20230110225556889

高阶导数

image-20230110230946103

例题

01

image-20230110231035107

02

image-20230110231236983

导数的应用

切线与法线

image-20230110231523478

image-20230110231615043

例题
01

image-20230110231748140

02

image-20230110232212666

03

image-20230110232333827

单调性

image-20230110232636937

例题
01

image-20230110232820042

极值

image-20230110233001123

image-20230110233052263

image-20230110233121382

例题
01

image-20230110233630557

image-20230110233725512

02

image-20230110234020585

最值

image-20230110234141128

例题

image-20230110234318182

凹凸性和拐点

凹凸性

image-20230110234701965

image-20230110234724319

拐点

image-20230110234738394

image-20230110234836302

做题方法

image-20230110234859558

例题

image-20230110235048987

渐近线

image-20230110235220563

image-20230110235424299

tip

只要有水平渐近线就没有斜渐近线，反之亦然。

例题
01

image-20230110235824977

02

image-20230111000346105

image-20230111000357143

image-20230111000334196

微分中值定理

posted @ 2023-01-27 16:22  xyongz  阅读(149)  评论(0)    收藏  举报