组合数学

排列与组合

排列数

从 \(n\) 个元素中不重复的取 \(m\) 个元素，按照某种顺序组成一个序列，叫排列，只要两个排列中任何一个元素不相同，我们认为他们是两个不同排列，即 \(a_i\neq b_i\) 而排列数是指在 \(n\) 个元素中不重复的取 \(m\) 个元素不同的排列的排列个数，记作 \(A_n^m\) 或 \(P_n^m\) ，其计算公式如下。

\[A_n^m=n(n-1)(n-2)\ldots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]

还有一种是可重复取的，公式为 \(n^m\) 。

圆排列

在 \(n\) 个 人中选 \(m\) 个数围成一圈的排列个数叫圆排列，记作\(Q_n^m\) 公式如下。

\[Q_n^m=\frac{A_n^m}{m}=\frac{n!}{m\cdot(n-m)!} \]

多重集排列数

若多重集 \(S\) 有 \(k\) 个元素，所有元素均为无限个，则选 \(m\) 的排列数为 \(k^m\) 。
若多重集 \(S\) 有 \(k\) 个元素，元素重数分别为 \(n_1,n_2,n_3,\ldots,n_k\) ，\(S\)的大小为 \(n=\sum_{i=1}^kn_i\) 则 \(S\) 的全排列为 $$\frac{n!}{\prod_{i=1}^kn_i}$$

组合数

从 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个元素无序的组成一个数列，叫组合，我们记作 \(C_n^m\) ，其公式如下。

\[C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)} \]

多重集的组合数

若多重集 \(S\) 有 \(k\) 个元素，元素重数分别为 \(n_1,n_2,n_3,\ldots,n_k\) ，\(S\)的大小为 \(n=\sum_{i=1}^kn_i\) 则 \(S\) 的 \(m\) 全排列为

\[C_{m+k-1}^m=C_{m+k-1}^{k-1} \]

鸽巢原理

所谓鸽巢原理，就是我家鸽鸽带的巢。
114只鸽鸽飞进514个巢，至少有一个巢有大于等于5只鸽鸽。
将 \(n+1\) 个物品分为 \(n\) 组，至少有一组有大于等于2个物品。
将 \(n\) 个物品分为 \(k\) 组，至少有一组的数量大于等于 \(\frac{n}{k}\) （上取整）。

二项式定理

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^nC_n^i\cdot b^i\cdot a^{n-i} \]

容斥原理

例题

清空有一些学生，其中10人学 OI ，5人学 ACM 那么清空有多少学生？
普通人： \(10+5=15\)
聪明人： 还有两个都学的呢？
我：怎会有人同时学 OI 和 ACM 啊？

定义

简单形式

\[|A\bigcup B|=|A|+|B|-|A\bigcap B| \]

设U中元素有 \(n\) 种不同的属性，第 \(i\) 种属性为 \(P_i\) ，拥有属性 \(P_i\) 的元素构成集合 \(S_i\) ，则有：

\[|\bigcup_{i=1}^nS_i|=\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^{m}S_{a_i}| \]