最近对问题
1. 问题
在数组P中存储平面上的n>=2个点，并且按照这些点的x轴坐标升序排列，数组Q中存储与P相同的点，只是它按照这些点的y 轴坐标升序排序，得出最近点之间的欧几里得距离。
2. 解析
1)蛮力算法：当2≤n≤3时，问题就可以通过蛮力算法解决。
(2)分治算法：当n>3时，可以利用点集在x轴方向上的中位数m，在该处作一条垂线，将点集分成大小分别为⌈n/2⌉和⌊n/2⌋的两个子集P1和Pr。即使得其中⌈n/2⌉个点位于显得左边或线上，⌊n/2⌋个点位于线的右边或线上。然后就可以通过递归求解子问题P1和Pr来的到最近点点对问题的解。其中d1和dr分别表示在P1和Pr中的最近对距离，并定义d = min{d1,dr}。但请注意，d不一定是所有点对的最小距离，因为距离最近的两个点可能分别位于分界线的两侧。因此，在合并较小子问题的解时，需要检查是否有这样的点。显然，我们可以只关注以分割带为对称的、宽度为2d的垂直带中的点，因为任何其他点对的距离都至少为d。
3. 设计
EfficientClosestPair(P,Q){
if n<=3
返回蛮力算法求得的最小距离;
else
将P的前⌈n/2⌉个点复制到Pl;
将Q的前⌈n/2⌉个点复制到Q1;
将P中余下的⌊n/2⌋个点复制到Pr;
将Q中余下的⌊n/2⌋个点复制到Qr;
dl<—EfficientClosestPair(Pl,Q1);
dr<—EfficientClosestPair(Pr,Qr);
d<—min{d1,dr};
m<—P[⌈n/2⌉-1].x;
将Q中所有|x-m|<d的点复制到数组s[0...num-1];
dminsq<—d²;
for i=0 to num-2 do
k<—i+1
while k<=num-1 and (s[k].y-s[i].y)² < dminsq
dminsq<—min((s[k].x-s[i].x)²+(s[k].y-s[i].y)²,dminsq);
k<—k+1；
return sqrt(dminsq);
}
4. 分析
时间复杂度：O(n log n)
5. 源码
#include<iostream>
#include<math.h> //计算距离
#include<time.h> //计算运行时间
#include<fstream> //文件操作
#include<algorithm> //排序
using namespace std;
#define MAX 0x3f3f3f3f //定义无穷大
#define M 99999
struct point {
double x, y;
}p[M];
int a[M];// 保存排序的索引
int cmpx(const point& a, const point& b) //排序升序
{
return a.x < b.x;
}
int cmpy(int &a, int &b) //排序升序
{
return p[a].y < p[b].y;
}
inline double min(double a, double b) //返回两个值中较小的
{
return a < b ? a : b;
}
inline double dist(const point& a, const point& b)
{
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double closeset(int low, int high)
{
if (low == high)
return MAX;
if (low + 1 == high) //即n=2，返回两点之间的距离
return dist(p[low], p[high]);
int mid = (low + high)>>1; //右移一位，相当于除以2，但右移的运算速度更快，若使用(low+high)/2求中间位置容易溢出
double ans = min(closeset(low, mid), closeset(mid+1, high)); //递归求出两边最小距离
int i, j, c = 0;
for (i = low; i <= high; i++) //统计那些点位于两虚线内，并记录
{
if (p[mid].x - ans <= p[i].x && p[i].x <= p[mid].x + ans)
a[c++] = i;
}
sort(a, a + c, cmpy);
for(i = 0; i < c; i++)//比较s1中虚线内的点和s2中虚线内的点的距离是否存在有小于两侧最小对的
{
int k = i+7 > c ? c : i+7;
for (j = i+1; j < k; j++)
{
if (p[a[j]].y - p[a[i]].y > ans) //如果位于中位线两侧的点的距离大于anx则跳出第一个循环
break;
ans = min(dist(p[a[i]], p[a[j]]), ans); //如果有两个点小于两侧的最近对，则选出最小的点
}
}
return ans;
}
int main()
{
clock_t start;
double totaltime;
start=clock();
int n; //一共多少个点
double dmin;
ifstream read_in;
read_in.open("close.txt");
read_in >> n;
cout<<"读入点数为："<<n<<endl;
cout<<"点的坐标为："<<endl;
for(int i=0;i<n;i++) //循环读入文件
{
cout<<"p"<<i+1<<":";
read_in>>p[i].x>>p[i].y;
cout<<p[i].x<<" "<<p[i].y<<endl;
}
sort(p,p+n,cmpx); //按照x轴排序
dmin=closeset(0, n-1);
cout<<"最近的距离是："<<dmin<<endl;
clock_t end=clock();
totaltime=(double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC;
cout<<"程序运行时间是："<<totaltime<<endl;
return 0;
}
