范德蒙恒等式学习笔记

范德蒙恒等式，听起来牛逼哄哄，但是并没有那么晦涩深奥

其表述如下

$\sum_{i=0}^{k}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}$

组合方法证明：

考虑这样一个问题，甲班有$n$个同学，乙班有$m$个同学，从两班选出$k$个人一共有$\dbinom{n+m}{k}$种方式

当然我们也可以枚举甲班选了几个人，即$\sum_{i=0}^{k}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}$

证毕

生成函数法证明:

$(1+x)^n(1+x)^m=(1+x)^{n+m}$

对于等式左边$(1+x)^n(1+x)^m=(\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n}{i}x^i)(\dbinom{m}{i}x^i)=\sum_{k=0}^{n+m}(\sum_{i=0}^{k}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i})x^k$

对于等式右边$(1+m)^{n+m}=\sum_{i=0}^{n+m}\dbinom{n+m}{i}x^i$

上下比较一下，得证

范德蒙恒等式的衍生问题

(1)$\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{i-1}=\dbinom{2n}{n-1}$

有范德蒙恒等式可得$\sum_{i=0}^{k}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}$

令$k=n-1,m=n$

$\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{n-1-i}=\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{i+1}=\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{i}$

$=\dbinom{2n}{n-1}$

证毕

(2)$\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^2=\dbinom{2n}{n}$

左式$=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{n-i}=\dbinom{2n}{n}$