AtCoder AGC023E Inversions

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考虑怎么求有限制的排列个数：将数组\(a\)从小到大排序，\(a_i\)在排序后数组中的位置是\(p_i\)，则排列个数是\(\prod_{i=1}^{n}(a_i-p_i+1)\)。其意义就是考虑在排序后的限制中从前往后填数，第\(i\)个可填的数的个数就是\(a_i-p_i+1\)。
对于这种逆序对计数问题的处理基本上都是要拆贡献，即对于每两位计算前一个比后一个大的方案数。
考虑任意两位\(i,j\ (i<j)\)，记\(mul=\prod_{i=1}^{n}(a_i-p_i+1)\)，分两类讨论：
1.\(a_i<a_j\)，则方案数\(\frac{mul}{(a_i-p_i+1)(a_j-p_j+1)}\cdot \frac{(a_i-p_i+1)(a_i-p_i)}{2}\prod_{p_i < p_k < p_j}\frac{a_k-p_k}{a_k-p_k+1}\)，解释一下其意义：第1项代表排除\(i,j\)两个数以外的数组成排列的方案数，第2项表示第\(i\)项有\(a_i-p_i+1\)个数可填\(P_i>P_j\)的方案数，第3项表示由于第\(j\)项\(<a_i\)会导致\(a\)介于两者之间的能填的数个数\(-1\)。化简一下即可得到\(\frac{mul(a_i-p_i)}{2(a_j-p_j+1)}\prod_{p_i < p_k < p_j}\frac{a_k-p_k}{a_k-p_k+1}\)。
2.\(a_i>a_j\)，同理可得方案数为\(mul-\frac{mul(a_j-p_j)}{2(a_i-p_i+1)}\prod_{p_j < p_k < p_i}\frac{a_k-p_k}{a_k-p_k+1}\)。
维护比较简单，只要从小到大加入\(a_i\)，分别统计\(<i\)和\(>i\)两部分的答案，线段树维护即可。
Submission
统计逆序对问题中有一个很常见的技巧，就是将其变成平面上的数点问题。
\(\text{Example1}\)：在此题中当求\(a_i<a_j\)时\(P_i>P_j\)的方案数时，本质上就是在平面直角坐标系中以\((0,0)\)为左下角点、\(a_i,a_j\)为宽和高的矩形中横坐标\(>\)纵坐标的整点个数，即在直线\(y=x\)下方的整点个数。
\(\text{Example2}\)：当求在\([l_1,r_1]\)和\([l_2,r_2]\)随机实数且\(P_i>P_j\)的概率是，等价于在矩形\((l_1,l_2),(r_1,r_2)\)中在直线\(y=x\)下方的面积大小除以矩形的面积，这样就可以很方便的容斥。