Codeforces 1548

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B Integers Have Friends

首先考虑相邻的两个数同余，及\(a_i \equiv a_{i+1} \equiv k \pmod m\)，转化一下就是\(a_i - a_{i-1} \equiv 0 \pmod m\)，由此发现\(m\)需要满足的性质就是\(m|(a_i-a_{i-1})\)，对于连续多个数，\(m|\gcd(a_l,a_{l+1},\cdots,a_r)\)。由此性质可以考虑对于固定的\(l\)，倍增找出最大的\(r\)，类似\(ST\)表的方法预处理\(\gcd\)的倍增数组即可。
Submisson

C The Three Little Pigs

原题等价于求\(\sum_{i=1}^{n}\binom{3i}{x}\)，显然对于每组询问都可以\(\mathcal O(n)\)计算。
考虑一个很神的\(DP\)，设\(f(x,t),t\in \{0,1,2 \}\)表示\(\sum_{i=0}^{n-1}\binom{3i+t}{x}\)，那么答案就是\(f(x,0)+\binom{3n}{x}\)，考虑转移：
\(f(x,0)+f(x,1)+f(x,2)=\sum_{i=0}^{3n-1}\binom{i}{x}=\binom{3n}{x+1}\)
\(f(x,1)=f(x-1,0)+f(x,0)\)
\(f(x,2)=f(x-1,1)+f(x,1)\)
其中第一个式子用到了“上指标求和”的技巧，第二第三个式子都是组合数的递推，发现是一个三元一次方程组，解一下方程直接转移即可。
Submission

D Gregor and the Odd Cows

本题关键的第一步要用到\(\text{Pick}\)定理：\(S=A+\frac{B}{2}-1\)
其中\(S\)表示多边形面积，\(A\)表示内部格点个数，\(B\)表示边上格点个数。
具体看官方题解
Submission for D1
Submission for D2

E Gregor and the Two Painters

考虑对于每一个连通块选出一个代表节点，发现可以选择这个连通块中权值最小的点，优先靠上靠左。接下来考虑一个节点是代表节点的等价条件。记\(prea_i\)表示\(i\)之前第一个\(\le a_i\)的位置，\(sufa_i\)表示\(i\)之后第一个\(<a_i\)的位置，类似的定义\(preb_i,sufb_i\)，记\(Ma_i=\max(\max([prea_i,i-1]),\max([i+1,sufa_i]))\)，类似定义\(Mb_i\)，那么一个点是代表节点的等价条件就是：
\(a_i+b_j \le x\)
\(Ma_i+b_j > x\)
\(a_i+Mb_j > x\)
后两个条件的意思就是因为有较大的只存在，使得\(i\)不能走到\(prea_i\)或\(suba_i\)，\(j\)不能走到\(preb_j\)或\(sufb_j\)，由此对不等式稍作变形即可得到二维偏序的限制，树状数组即可。
Submission