一元二次方程求根公式及根与系数的关系

对于以下关于 \(x\) 的一元二次方程：

\[ax^2+bx+c=0(a,b,c为常数且a\ne 0) \]

因为 \(a\ne0\)，所以等式两边同时除以 \(a\) 得到：

\[\frac{ax^2+bx+c}{a}=\frac{0}{a}\Rightarrow x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]

然后对等号左边式子进行配方，中间项系数一半的平方

\[x^2+\frac{b}{a}x+\left (\frac{b}{2a}\right )^2=\left (\frac{b}{2a}\right )^2-\frac{c}{a} \]

\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \]

将等号右边通分得到

\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \]

因为等号左边平方大于等于 \(0\)，所以等号右边也要大于 \(0\)，由于分母 \(4a^2\ge0\)，所以分子也要大于 \(0\)，即 \(b^2-4ac\ge 0\)。于是，就有了一元二次方程判别式 \(\Delta=b^2-4ac\)，即

\[x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt\Delta}{2a} \]

移项，得

\[x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} \]

于是对于关于 \(x\) 的一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0(a\ne0)\) 来说,

\[\Delta=b^2-4ac \]

\[\left\{\begin{matrix} \text{当 }\Delta>0\text{ 时，}x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a},\\ \text{当 }\Delta=0\text{ 时，}x=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a},\\ \text{当 }\Delta<0\text{ 时，该方程无实数根}.\\ \end{matrix}\right.\]

当 \(b^2-4ac\ge 0\)，两根之间的关系如下：

两根之和为

\[\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \]

两根之积为

\[\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \]

总结：

\[\begin{array}{l} a\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+bx+c=0 \\ \Delta =\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}-4ac \\ \left\{\begin{matrix} \Delta \gt 0\text{方程有两个不相等的实根} \\ \Delta = 0\text{方程有两个相等的实根} \\ \Delta \lt 0\text{方程无实根} \end{matrix}\right. \end{array} \]

\[\begin{array}{l} \mathop{{x}}\nolimits_{{1,2}}=\frac{{-b \pm \sqrt{{\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}-4ac}}}}{{2a}} \\ \mathop{{x}}\nolimits_{{1}}+\mathop{{x}}\nolimits_{{2}}=-\frac{{b}}{{a}} \\ \mathop{{x}}\nolimits_{{1}}\mathop{{x}}\nolimits_{{2}}=\frac{{c}}{{a}} \end{array} \]