四川大学2009年数学分析考研试题

一、极限 (每小题7分,共28分) 

 

1.$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty } \frac{1}{n^{2}}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln \tbinom{n}{k}$

2.$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+n}\right)$

3.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\displaystyle \int_{0}^{x^{2}}\sin ^{\frac{3}{2}}tdt}{\displaystyle \int_{0}^{x}t(t-\sin t)dt}$

4.$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$

 

二、(每小题10分,共40分)计算下列积分 .

1.$\displaystyle \iint\limits_{D}\left| \frac{x+y}{2}-x^{2}-y^{2}\right|dxdy$,其中$\displaystyle D=\{(x,y)\in R^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}$.

2.$\displaystyle \int_{l}yzds$,其中曲线$l$是球面$\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$与平面$z+y+z=1$的交线.

3.设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内有连续导函数,求积分$\displaystyle \int\limits_{L}\frac{1+y^{2}f(xy)}{y}dx+\frac{x}{y^{2}}[y^{2}f(xy)-1]dy$,其中$L$是从点$ A\left(3,\frac{2}{3}\right)$到$ B\left(1,2\right)$的直线段.

4.$\displaystyle \iint\limits_{S}\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}$,其中$S$是抛物面$\displaystyle 1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16}(z\ge0)$的上侧.

 

三、(本题10分) 设$f(x,y)$在有界闭区域$D$内有连续二阶偏导数,且$\displaystyle f''_{xx}+f''_{yy}=0,f''_{xy}\not =0$.

证明:$z=f(x,y)$的最大值最小值只能在区域$D$的边界上取得.

 

四、(本题12分) 证明:在变换$\displaystyle u=\frac{x}{y},v=x,w=xz-y$之下,方程

$$y\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}+2\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2}{x}$$可变成$$\frac{\partial ^{2} w}{\partial u^{2}}=0$$

 

五、(本题12分) (本题12分) 证明:$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-x)\frac{x^{n}}{1-x^{2n}}\sin nx$在$\displaystyle \left(\frac{1}{2},1\right)$内一致收敛.

 

六、(本题12分) 设$f(x)$在$[a,b]$上连续,且$f(a)=f(b)$,证明:$\displaystyle \forall n \in \mathbb{Z}^{+},\exists\ \xi\in(a,b)$,使得$$\displaystyle f\left(\xi +\frac{b-a}{n}\right)=f(\xi)$$.

 

七、(本题12分) 设$f(x)$在$[0,1]$上连续,在$(0,1)$可导,且$f'(x)>0,f(0)=0$，证明:

$\displaystyle \exists \xi ,\eta \in(0,1)$使得$\xi +\eta =1$且$\displaystyle \frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=\frac{f'(\eta)}{f(\eta)}$.

 

八、(本题12分) 设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续可导,证明:$$\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx\le\max \left\{ (b-a)\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx, \left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right| \right\}.$$

 

九、(本题12分) 对任意实数$A>0$,函数$f(x)$在$[0,A]$上可积,且$\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=B$($B$有限).

证明:$\displaystyle \lim\limits_{t\to 0^{+}}t\int_{0}^{+\infty}e^{-tx}f(x)dx=B$.