四川大学2007年数学分析考研试题

一、(每小题7分,共21分) 计算下列极限

1.$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty } n\left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-e \right)$

2.$\displaystyle \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x)$

3.$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

二、(每小题10分,共60分) 计算下列积分.

1.设$\displaystyle f(x)= \begin{cases}
1-x^{2},x<0\\
1+x,x\ge0
\end{cases}$,求$\displaystyle \int_{-2}^{1}f\left(f(x)\right)dx$.

2.$\displaystyle \iint\limits_{D}\sqrt{x}+\sqrt{y}dxdy$,其中$D$是由抛物线$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1,x=0$及$y=0$所围区域.

3.$\displaystyle \iiint\limits_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right)dxdydz$,其中$\Omega$是锥面$x^{2}+y^{2}=z^{2}$与上半球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=3a^{2}$所围区域.

4.$\displaystyle \iint\limits_{S}(xy+yz+zx)dS$,其中$S$是锥面$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$被柱面$x^{2}+y^{2}=2ax$所截部分.

5.$\displaystyle \int_{L}(2xy^{3}-y^{2}\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^{2}y^{2})dy$,其中$L$是$2x=\pi y^{2}$从原点$O(0,0)$到点$A(\frac{\pi}{2},1)$的一段曲线.

 

6.$\displaystyle \iint\limits_{S} xdydz+ydzdx+zdxdy$其中$S$为上半球面$z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$的下侧.

三、(本题15分) 设$f(x,y)$为$R^{2}$上的可微函数,且有
$$\lim\limits_{r\to +\infty}\left(xf'_{x}+yf'_{y}\right)=a>0,\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right).$$
证明:$f(x,y)$在$R^{2}$上必有最小值.

四、(本题14分) 设$u=u(x,y)$具有二阶连续偏导数.证明存在常数使得在变换

$$s=x+ay,t=x+by$$下可将微分方程

$$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+4\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+3 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$$化为$$\displaystyle \frac{\partial ^{2} u}{\partial s \partial t}=0$$.

 

五、(本题20分) 设$f(x)$在$[0,1]$上可导且$f(0)=0,\left|f'(x)\right| \le \frac{1}{2}\left|f(x)\right|$.
证明:在$[0,1]$上,$f(x)\equiv 0$.

 

六、(本题20分) 设$f(x)$在$R$上具有二阶连续导数且$f(0)=f(1)=0$.对任意的$x\in
(0,1),f(x)>0$.证明:$$\displaystyle \int_{0}^{1} \left| \frac{f''(x)}{f(x)}\right|dx>4$$.