四川大学2003年数学分析考研试题

一、(每小题10分,共20分)设$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}x_{n}=a$设$\displaystyle y_{n}=\frac{x_{1}+2x_{2}+\cdot\cdot\cdot+nx_{n}}{n(n+1)}$.证明:

1.设$a$是有限数,则$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}y_{n}=\frac{a}{2}$.

2.若$a=+\infty $,则$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}y_{n}=+\infty$.

 

二、(每小题10分,共20分)设$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减且$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(x)dx$收敛.

1.证明:$\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty}xf(x)=0$

2.若$x\to +\infty$时$\displaystyle f(x)\to 0$且$f'(x)$连续,证明:$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}xf'(x)dx$也收敛.

 

三、(每小题10分,共20分)

1.若对每个正整数$\displaystyle n,u_{n}(x)$是$(0,1)$内的单调递减的函数,且$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1-0}u_{n}(x)=1$,证明:

若$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$收敛则$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1-0} \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}u_{n}(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$

2.证明:$ \displaystyle  \lim\limits_{x\to 1-0}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n(1+x^{n})}=\frac{1}{2}\ln 2$

 

四、(本题满分15分)设$y=f(x)$在$\displaystyle [-\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}},\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} ]$上连续,

证明:$ \displaystyle \iint\limits_{S} f(ax+by+cz)dS=2\pi \int_{-1}^{1}f(u\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})du$.其中$S$是单位球面:$\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.