四川大学2000年数学分析考研试题

一、(每小题10分,满分20分)求下列极限.

1.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\frac{ \displaystyle \int_{0}^{x}(1-\cos t)dt }{ \displaystyle \frac{1}{3}x^{3}} $

2.$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty }\sin \frac{\pi}{n}
\sum_{k=1}^{n}\frac{\cos \frac{k\pi} {n}}{ 2+\sin \frac{k\pi} {n}}$

 

二、(本题满分10分) 设函数$u=u(x,y)$由方程$ u=y+x\varphi (u)$确定,求证:$$\displaystyle \frac{ \partial ^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{ \partial }{\partial y}\left[ \varphi ^{2}(u) \frac{\partial u}{\partial y}\right] $$

 

三、(本题满分20分) 设$f(x)$在$[0,1]$上连续.证明:

$$ \lim\limits_{t\to 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{tf(x)}{t^{2}+x^{2}}dx=\frac{\pi}{2}f(0)$$

 

四、(本题满分20分) 证明函数项级数$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin x \sin nx}{\sqrt{n+x}} $在$(0,+\infty)$上一致收敛.

 

五、(本题满分10分) 计算$\displaystyle \oint_{l} \frac{x}{x^{2}+y^{2}}dy-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}dx $,其中$l$是由$y=x^{2}-1$与$y=x+1$所围成区域的边界,沿逆时针方

向.

 

六、(本题满分20分) 计算$\displaystyle \iint\limits_{S}4zxdydz-2yzdxdx+(z-z^{2})dxdy$,其中$S$是$yoz$平面上的曲线$z=e^{y}(0\le y\le 2)$绕$oz$轴旋转一周所成的曲面的下侧.