逆序对的数量

给定一个长度为 n 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i<j 且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式

第一行包含整数 n，表示数列的长度。

第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式

输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围

1≤n≤100000，
数列中的元素的取值范围 [1,109]。

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

题解:

正常暴力写, 时间复杂度是O(n^2), 会超时

暴力代码👇

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N];
long long res = 0;

int main()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = i; j < n; j ++)
            if (a[i] > a[j]) res ++;
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

---

正解:

• 归并的过程计算一下 逆序对的个数

所以只需要在并的过程中, 在a[i] > a[j]的时候加上 mid - i + 1就能算出答案

ac代码👇 时间复杂度O(nlogn)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N], q[N];

long long res = 0;
void merge_sort( int l, int r)
{
    if (l >= r) return ;
    
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(l, mid), merge_sort(mid + 1, r); // 归
    
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while (i <= mid && j <= r)  // 并
    {
        if (a[i] <= a[j]) q[k ++] = a[i ++];
        else
        {
            res += mid - i + 1;     // 答案
            q[k ++] = a[j ++];
        }
    }
    while (i <= mid) q[k ++] = a[i ++]; // 并
    while (j <= r) q[k ++] = a[j ++];   // 并
    
    for (int i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++) a[i] = q[j]; // 在并的过程中是把元素存在了q中, 需要把a中的元素换成q中的有序序列
}

int main()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    merge_sort(0, n - 1);
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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