排列组合：球盒问题

排列组合：球盒问题

有n个球和m个盒子，根据是否允许为空，球是否相同，盒子是否相同分成8种情况

前置知识：第二类斯特林数

1.允许为空、球不相同、盒子不相同

• 给每个球选择它的盒子，所以结果为\(m^{n}\)

2.不允许为空、球不相同、盒子不相同

• 假设盒子相同，这个问题就转换为将n个元素分成m个集合，然后对盒子全排列即\(m!\)，所以结果就为\(m!S(n,m)\)

3.允许为空、球相同、盒子不相同

• 假设不允许为空，并且球数为n+m 个，那么结果为\(C(n+m-1,m-1)\)，再给所有的盒子取出一个球，结果不变，所以为\(C(n+m-1,m-1)\)

4.不允许为空、球相同、盒子不相同

• 插板法，n个球就有n-1个空，插入m-1个板子，所以结果为\(C(n-1,m-1)\)

5.允许为空、球不同、盒子相同

• 第6问的求和，\(S(n,1)\) + \(S(n,2)\) + ... + \(S(n,m)\)

6.不允许为空、球不同、盒子相同

• 就是n个元素分为m个集合，\(S(n,m)\)

7.允许为空、球相同、盒子相同

• 分解，有空盒和没有的情况
• 有空盒时，与去掉一个空盒的情况数量相同
• 没有时，转换为问题8
• 又根据问题8可以转换为7，得出结果为\(ans(n,m)=ans(n,m-1)+ans(n-m,m)\)
• 为了简化，n小于m时，直接令\(ans(n,m)=ans(n,n)\)省去不必要的计算

8.不允许为空、球相同、盒子相同

• 所以盒子里的球全减少1个，转换为问题7，\(ans8(n,m)=ans7(n-m,m)\)