zw 线性代数 学习笔记

2026.09.08

• 作业在 elearning 上。

• 成绩计算：\(score=\min\{100,A+B-C\}\times 0.4+0.6D\)

• Day 1 基本就在讲简单矩阵知识，没什么好记的。

2026.09.10

• 方程组相容/不相容：有解/无解。

2026.09.15

• 线性变换：变换 T 是线性变换当且仅当 \(T(\bm{0})=\bm{0},T(\sum_{i=1}^p c_i\bm{v_i})=\sum_{i=1}^p c_iT(\bm{v_i})\)。

  eg：\(T(\bm{x})=\bm{A}\bm{x}\) 是线性变换。

• 定义域 (Domain)：函数输入值的集合，即所有可以代入的 x。

  陪域 (Codomain)：函数输出值所在的目标集合，是函数定义时规定的"输出范围"。

  值域 (Range)：函数实际取到的输出值集合，是陪域的子集：Range ⊆ Codomain，两者只在函数"满射"（surjective）时相等。

• 单位矩阵 \(I\)：满足 \(I\bm{x}=x\)。

2026.09.17

• 对于线性变换 \(T(\bm{x})=A\bm{x}\)，写成矩阵后就是 \(A=[T(\bm{e_1}),T(\bm{e_2})\ldots T(\bm{e_m})]\)。

• 定理：证明对于线性变换 \(T:\R^n\to \R^m\)，T 是双射当且仅当 \(T(\bm{0})\) 没有非平凡解。

  • 当 T 是双射，后者显然。

  • 当 T 不是双射，则 \(\exists \bm{u},\bm{v}, s.t. T(\bm{u})=T(\bm{v})=\bm{w}\)，则 \(T(\bm{u}-\bm{v})=\bm{w}-\bm{w}=\bm{0}\)，故 \(T(\bm{x})=0\) 存在非平凡解。

2026.09.22

• 对称矩阵：满足 \(A^{-1}=A\)，即 \(a_{i,j}=a_{j,i}\) 的矩阵。

• 二次型：关于变量的二次齐次多项式，一般形式为 \(Q(x)=\sum_{i,j} a_{i,j}x_xx_j=x^{T}Ax\)。其中 A 是对称矩阵。

  等价理解：矩阵经初等行变换化为阶梯形后，非零行的个数；列空间（或行空间）的维数。

• 矩阵的秩：矩阵的秩（rank）是指矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数，记作 rank(A) 或 r(A)。

• 奇异矩阵/非奇异矩阵：不可逆/可逆的矩阵。

• 单位矩阵的一些性质：若 \(A,B,C\in \mathbb{R}^{n\times n}\)，则：

  • 若 \(AC=I\)，则 C 唯一确定；

    证明：若存在 \(AB=BA=AC=CA=I,B\neq C\)，则 \(B=BI=B(AC)=(BA)C=C\)，矛盾。

  • 若 \(AC=I\)，且 rank(A)=n，则 \(\text{rank}(A^{T})=n\)。

• 定理：\(n \times n\) 矩阵 \(A\) 是可逆的，当且仅当 \(A\) 行等价于 \(I_n\)，这时，把 \(A\) 化简为 \(I_n\) 的一系列初等行变换同时把 \(I_n\) 变成 \(A^{-1}\)。

• 关于矩阵求逆：

  • 行化简 \([A|I]\to [I|A^{-1}]\)（使用上述定理）；

  • \(A=\begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix}\)，则 \(det(A)= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc\)，则 A 有逆 \(\iff\) \(det(A)\neq 0\)，且 \(A^{-1}=\frac{1}{\left| A \right|}\begin{bmatrix}d & -b \\-c & a\end{bmatrix}\)。

• 正交：指在向量空间中指两个向量互相垂直，即内积为零：⟨u,v⟩=0。

  正交矩阵：满足 \(A^{T}=A^{-1}\) 的矩阵。

• 关于可逆矩阵的一些性质：

  • \((A^{-1})^{-1}=A\)；

  • 若 A,B 均可逆，则 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)；

  • \((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)；