xy 数学分析（B） 学习笔记

2026.09.07

• 有限集：\(\exists n\in\mathbb{N}\)，使得 \(\{1\ldots n\}\) 到 A 有双射。

• 可列集：A 为有限集，或存在 \(\mathbb{N}\) 到 A 的双射。

  （题外话：似乎可列集得定义分为包含/不包含有限集的两种，这里 xy 老师上课时取的是前者。）

• 无限集：A 不为有限集。

• 集合的确定性：\(a\in A\) 和 \(a\notin A\) 有且仅有一个成立。

• 对偶率：\(I\neq\varnothing\) 时，\(B-(\lor_{i\in I}A_i)=\land_{i\in I}(B-A_i)\)，\(B-(\land_{i\in I}A_i)=\lor_{i\in I}(B-A_i)\)。

• 证明两集合相等：从定义出发，证明 \(A\subset B\)，\(B\subset A\)。

• 满射：记映射 f 的 \(R_f=\{y|y\in Y\land (\exists x\in X,f(x)=y)\}\)，则 X,Y 是一个满射当且仅当 \(R_f=Y\)。（即一一对应）

• 双射：同时满足单射 + 满射。

2026.09.09

• \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)

• 例题：设 a>1，定义 f \(\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\)，\(f(x)=\dfrac{a^x-a^{-x}}{2}\)，求 \(f^{-1}\) \(\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\)：左右同乘 a^x，看成关于 a^x 的二次方程，求根公式解出，得 \(f^{-1}(y)=\log_{a}(y+\sqrt{y^2+1})\)。

• lemma：对于正整数 \(n\ge 2\)，实数 \(0\le a<b\)，证明：\(\dfrac{(n-1)a+b}{n}\ge\sqrt[n]{a^{n-1}b}\)。

  不妨设 a>0，左式即 \(a+\dfrac{b-a}{n}\)，左右同除以 a 得 \(1+\dfrac{1}{n}(\dfrac{b}{a}-1)>\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)，再同取 n 次幂后运用二项式定理，取前两项即可。

• 例题：证明不等式 算术平均数 >= 几何平均数 >= 调和平均数。

  归纳法，假设对于 n-1 成立，则 \(\dfrac{a_1+\ldots +a_{n-1}}{n-1}\ge \sqrt[n-1]{a_1\ldots a_{n-1}}\)，两边取 n-1 次幂后得 \((\dfrac{a_1+\ldots +a_{n-1}}{n-1})^{n-1}\ge a_1\ldots a_{n-1}\)，则 \(\dfrac{a_1+\ldots +a_n}{n}=\dfrac{(n-1)\dfrac{a_1+\ldots +a_{n-1}}{n-1}+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{(\dfrac{a_1+\ldots +a_{n-1}}{n-1})^{n-1}+a_n}\ge \sqrt[n]{a_1\ldots a_n}\)。取等条件略。

  （题外话：老师很和蔼，板书非常工整，而且讲课速度并不十分快（尤其是对比起某位线代老师）。）

2026.09.14

• 最大数/最小数：存在则唯一。

• 上确界：设 \(B\subseteq\mathbb{R}\)，且 B 有上界，则上界得最小数为上确界。

2026.09.16