Gym 101673F Keeping On Track

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题意：给定一颗n+1（n≤10000）个结点的树（当然有n条边辣），定义一个结点为critical，当且仅当除去这个点及与其相连的边后，所有不相连的结点对数量最多。现在保证有且仅有一个结点是critical的，要求输出对应的不相连的结点对数，以及连上一条边后，能剩余的最少结点对数（即等价于（n+1-最佳情况下能减少的不相连点对个数））。

 

分析：明眼人一下就能看出，第二问比第一问简单多了，只要求出critical，然后O(n)跑一遍邻边统计最大的两个分支乘起来就是“最佳情况下能减少的不相连点对个数”了。

鉴于CF机子很快，而这题只有10⁴的数据规模，我上来直接码了一个暴力O(n²)，即枚举critical的结点是哪一个，对于每个点都跑一遍所有邻边的dfs，数出不相邻的结点对数，求最大值。

然而！大概因为这道题是ACM的题的关系吧？时限卡的很紧，O(n²)看来是卡不过去了。。

超时代码

 

既然超时了，我就只能另外想办法，如何更高效地求解第一个问题呢？其实可以O(n)——随便选个点开始dfs，对于每个点，我要求出与它相连的所有连通分量的结点个数，而这些问题可以依靠下面的dfs递归解决，这样就可以做到均摊的O(n)，问题也就完美的解决了。

 

AC代码

 

其实在想O(n)的算法之前，我想的是另一种思路，来自TJW神犇的博客（好像是去年省选Round2？），就是把度数不小于√n的点取出来单独处理，因为这样的点至多√n个，即使跑暴力也只有O(n√n)，剩余点如果能做到每个√n时间复杂度就好了（当然O(1)是最好的辣）。然而这样想就想多了，原来可以更简单。。