平衡二叉排序树

 

因为二叉树本身就是个递归的概念，所以在构建平衡二叉树的时候，应时刻记得递归这个概念。

同样的序列，因为排序不同，可能会生成不同的二叉排序树，查找效率性对就不一定了，如：1-9这些数字就可以生成下面两种树。

第二种就是一个极端的情况，如果要查找9，就需要进行比较8次，效率很低。由此就引出，平衡二叉树的概念。

什么是平衡二叉树？

希望对一个序列，进行查找，最好的就是将其构建成一个平衡二叉树即AVL树。

但是怎么构建平衡二叉排序树？

 前提：必须是一棵树。(类似于：只有先保证他是一个人，才难说他是一个什么样的男人。嘻嘻，这个比喻不是那么准确啦)

下面有一个题目：

怎么将左图构建成右图的平衡二叉树呢？

可见，左图和右图的不同就在于是否是平衡的。左图中节点9的平衡因子是2，是个不平衡点。

构造平衡二叉树:

如果在一棵平衡的二叉搜索树中，插入一个新节点时，造成了不平衡。此时必须调整树的结构，使之平衡化。

平衡旋转有两类：

--单旋转(左旋和右旋)

--双旋转(左右旋和右左旋)

每插入一个新节点时，AVL树中相关节点的平衡状态会发生改变。因此，在插入一个新节点后，需要从插入位置沿着通向根的路径回溯，检查各节点的平衡因子。如果在某一节点发现此树不平衡，停止回溯。

从发生不平衡的节点起，沿着刚才回溯的路径取直接下两层的节点。

（1）如果这三个节点处在一条直线上，则采用单旋转进行平衡化。单旋转可按方向分为左单旋转和右单旋转。

（2）如果这三个节点处在一条折线上，则采用双旋转进行平衡化。单旋转可按方向分为先左后右旋转和先右后左旋转。

下面举两个简单的例子，便于理解。

1：a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};对于这压样一个一维数组，构建二叉平衡树。

此时构建过程已经完成。

例子2：

 

下面是代码实现：

/*平衡二叉树的实现原理
  时间：2015-6-21
***/
#define LH 1//左子树高
#define EH 1//左右子树登高
#define RH 1//右子树

typedef struct BITNode{
  int data;
  int bf;
  struct BITNode*lchild,*rchild;
}BITNode,*BiTree;
//右旋操作
void R_Rotate(BiTree *p)
{
     BiTree L;
     L=(*p)->lchild;
     (*p)->lchild=L->rchild;
     L->rchild=(*p);
     *p=L;
}
//左旋操作
void L_Rotate(BiTree *p)
{
     BiTree L;
     L=(*p)->rchild;
     (*p)->rchild=L->lchild;
     L->lchild=(*p);
     *p=L;
}
//左平衡
void LeftBalance(BiTree *T)
{
   BiTree L,lr;
   L=(*T)->lchild;
   switch(L-bf)
   {
      case LH;
        (*T)->bf=L-bf=EH;
         R_RETATE(T)
         break;
         case RH;
          lr=L->rchild;
          switch(Lr-bf)
         {
         case LH;
            (*T)->bf=RH;
              L->bf=EH;
              break;
         case EH;
             (*T)->bf=L-bf=EH;
              break;
         case RH;
              (*T)->bf=EH;
               L-bf=LH;
               break;
   }
   lR->bf=EH;
   L_Rotate(&(*T)->lchild);
   R_Rotate(T);
   }

}  
int InsertAVL(BITree *T,int n,int *taller)//taller用于判断插入节点后，树长高了没有
{
 if(!*T)
   {
       *T=(BiTree)malloc(sizeod(BITNode));
       (*T)->data=e;
       (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL;
       (*T)->bf=EH;
        *taller=TRUE;
   }
 else{
       if(e==(*T)->data)
       {
       *taller=FALSE;
       return FALSE;
       }
       if(e<(*T)->data)
       {
        if(!InsertAVL(&(*T))->lchild,e,taller)
        {
           return FALSE;
         }
         if(*taller)//判断树的长势
         {
            switch((*T)->bf)
            {
              case LH:
                        LeftBalance(T);
                         *taller=FALSE;
                         break;
               case EH:
                           (*T)->bf=EH;
                           *taller=TRUE;
                           break;
                case RH:
                          (*T)->bf=EH;
                           *taller=FALSE;
  
            }  
         }
 
        }
        else
        {
          if(!InsertAVL(&(*T))->rchild,e,taller)
          {
           return FALSE;
           }
           if(*taller)//判断树的长势
           {
            switch((*T)->bf)
            {
              case LH:
                        (*T)->bf=EH;
                         *taller=FALSE;
                         break;
               case EH:
                           (*T)->bf=EH;
                           *taller=TRUE;
                           break;
                case RH:
                           RightBalance(T);
                          (*T)->bf=EH;
                           *taller=FALSE;
  
            }  
         }
 
        }
    }    
}