摘要：实对称矩阵$A$正交相似于对角矩阵，或正交合同于对角矩阵，称为主轴定理，其含义是$A$所对应的二次型$x^TAx$经正交变换$x=Qy$化为对称轴与坐标轴重合的二次型$y^T\Lambda y$, 即将二次型化为标准形. 该定理在解决二次型相关问题时能发挥重要作用. 阅读全文

摘要：相似无疑是方阵间最重要的一种等价关系. 对于可对角化的矩阵，我们自然可以取相似类中的对角矩阵作为代表元或将矩阵$A$分解为$A=P\Lambda P^{-1}$(其中$\Lambda$为对角矩阵)来解决问题. 对于一般的矩阵，可以考虑Frobenius标准形或Joran标准形矩阵，使相关问题得以简化. 阅读全文

摘要：在高等代数课程里，我们学习过矩阵的等价、相似与合同三种等价关系，在每个等价类里我们都可以选择一个“相对简单”的代表元，称为等价标准形. 若待解决的问题在某一等价关系（相抵、相似于或合同）下不变，或与等价类的代表元的选取无关，则对一般矩阵$A$的问题可以转化为选取$A$的（相抵、相似 或合同）标准形来解决，从而为解决相关问题带来极大的方便. 我们首先讨论利用矩阵的等价标准形来解决相关问题. 阅读全文

摘要：分块矩阵法是高等代数中处理矩阵相关问题的最重要的方法之一, 其重要性可以说怎么强调都不过分. 分块矩阵法的核心思想是根据具体问题构造适当的分块矩阵, 然后运用广义初等变换, 将某些子块消为零块, 得到特殊的分块矩阵从而解决问题. 该方法几乎贯穿了线性代数的始终, 在矩阵求逆、矩阵秩不等式、行列式、线性方程组、线性变换、二次型等方面有着广泛的应用. 阅读全文

摘要：线性代数中许多命题对可逆矩阵而言证明十分容易, 然而对一般矩阵(非可逆)却可能相当棘手, 这时我们常常采用摄动法来解决. 阅读全文

摘要：在中学解析几何课程里，我们知道在建立坐标系之后，几何图形（如直线、平面、曲线、曲面等）与方程或方程租一一对应；特别地，直线/平面与线性方程组一一对应. 线性方程组理论既是线性代数的主要内容之一, 又是线性代数中处理相关问题的重要工具. 尤其是涉及矩阵的秩的相关问题, 可以利用线性方程组理论将代数问题转化为几何问题从而利用几何方法加以解决. 阅读全文