最短路算法实现与分析：Dijkstra算法，Floyed，Bellman-Ford, SPFA算法；
最短路算法：最短路径算法是图论研究中，一个经典算法问题；旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
确定起点的最短路径问题：已知起始点，求最短路径问题。适合使用Dijkstra算法；（单源最短路径问题）
全局最短路径问题：求图中所有的最短路径，适用于Floyed-Warshall 算法；（多源最短路径问题）
单源最短路径：给定一个带权有向图G=V,E; 其中每条边是一个实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源；要计算从源到其他所有顶点的最短路径长度。这个长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题；
Dijkstra算法：Dijkstra算法使用的是贪心的思想，即在问题求解是总是选择当前最优解；该算法用于求解单源最短路问题，不能处理负权，只能用于正权图中；算法使用贪心策略，从s0开始，选择未访问过v[i]的离s0最近的一个点i，也就是最小的d[i]；然后将i作为中间点，更新经过i,可以到达的点的最短路距离，继续贪心寻找未访问过的最近的一个点，经过n次贪心，所有的点访问完毕，算法结束；输出起点和终点间的最短路距离；
- 初始化d[s0]=0,其他d[i]=INF;
- 经过n次贪心，找到起点s0到其他点的最短路距离；
- 贪心：
- 找出一个未访问过的最小d[k];
- 标记k被访问过v[k]；
- 将k作为中间点，更新起点s0,到经过k到其他点v的d[v]; 可更新路径追踪数组，记录当前最短路来自哪一节点 from[v] = k;
- Prim算法和贪心算法之间的区别：
- Prim算法：更新的是未标记集合到已标记集合之间的距离；
- Dijkstra算法：更新的是源点到未标记集合之间的距离；
- Dijkstra 算法可以使用堆进行优化：堆优化，Dijkstra算法的核心是，先找到最小距离，然后在更新；在不优化的时候，我们是通过循环来找到最小距离的；我们可以使用优先队列来进行优化；优先队列一般使用堆来进行实现，所以可以认为是堆优化；C++中有std::priority_queue容器适配器可以来进行使用；
Floyed算法：Floyed算法，又称为插点法，一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法；该算法可以求出多源最短路，可以处理负权边情况，但是不能出现负环；该算法思想使用动态规划思想；
- 设d[i][j][k]表示i到j只经过1,2,..k这些节点时，i到j的最短路径。会出现下面两种情况：
- 经过k点：d[i][j][k] = d[i][k][k-1]+d[k][j][k-1];
- 不经过k点：d[i][j][k]=d[i][j][k-1];
- 状态转移方程为：d[i][j][k]=min{d[i][j][k-1], d[i][k][k-1]+d[k][j][k-1]}
- 边界条件：d[i][j][0]=w[i][j]; (w[i][j]表示，ij边的权值，不存在边的权值表示为正无穷)
- 因为k是递增的，d[i][j]保存的状态是d[i][j][k-1], 所以可以减少一维，使用二维数组：
- 状态转移方程：d[i][j] = min{d[i][k]+d[k][j], d[i][j]};
- 边界条件：d[i][j] = w[i][j];
- 枚举k, 使用中间点k来更新i到j的最短路距离；
Bellman-Ford算法：贝尔曼福特算法是一种单源最短路算法；它相对Dijkstra算法可以进行处理负权，适用前提：没有负环；实现简单，但是时间复杂度高；可以用来判断是否存在负环，每次迭代更新起点到各节点的最短路径；如果迭代n-1次后(6个点之间存在n-1条边)，再次迭代还有路径更新，则说明存在负环；
算法思想：图的任意一个条最短路，既不会包含负权回路，也不会包含正权回路，最多包含n-1边。那么，从源点s开始，可以达到的节点，如果存在最短路，则最短路构成了一颗以s为根的最短路树。因此，可以按照距离根s的层次，逐层生成达到每个点的最短路（松弛操作）；所以整个过程，就是创建最短路树的过程；需要一个辅助数组d[n]和v[n]来记录最短路距离和跟踪寻迹；从边的角度来考虑，每次迭代要遍历每条边；循环n-1次后，第n次循环如果所有d[n]值不更新，则跳出循环；如果第n次还存在路径更新，则说明存在负环；Bellman-Ford算法也可以求解最长路和用来判断正环，只要在递推关系选择最大的更新就好；
算法实现过程：
- 初始：dist[u]=INF; dist[s]=0; s为起始点；
- 递推：对于每条边（u，v）进行松弛操作；dist[v] = min(dist[v], dist[u]+w[u][v]);(松弛操作为n-1次)
- 最后再循环一次，判断是否存在负环；
SPFA算法：SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)；上面描述的Bellman-Ford算法，算法时间复杂度比较高；Bellman-Ford算法需要递推n次，每次递推需要扫描所有的边；然而每次松弛操作并不需要对所有的边松弛，只需要与当前找到最短路的点相连的边进行松弛；所以使用队列，每次将距离更新且不在队列中的点入队；每次从队列中取出一个顶点，对它所有相邻的节点进行松弛，如果某个顶点松弛成功，如归该点不在队列中，则将其入队，重复这样的操作，直到队列为空为止；如果一个节点入队次数超过n次，说明存在负权回路；可以使用一个cnt[n]数组来进行计数；
算法实现过程：
- 初始化：dis[s]=0; dis[i]=INF; 新建一个队列，将源节点s入队，标记s已经入队；
- 从队首取出一个点u，标记u已经出队，将与u有边相连的点进行v进行松弛操作；如果松弛成功并且v不在队列中，则v入队；
- 重复上述操作直到队列为空；
时间复杂度分析：
- Floyed算法：求多源最短路，可以处理负边；时间复杂度为O(n3);
- Dijkstra算法：求单源最短路，不能处理负边；时间复杂度为O(n2);
- Bellman-Ford算法：求单源最短路，可以处理负权边；时间复杂度为O(NM);
- SPFA算法：求单源最短路，Bellman-ford算法优化版本，可以处理负权边；时间复杂度为O(kM)~O(NM); k为较小常数；
代码实现请参考：https://github.com/yaowenxu/codes/tree/master/最短路算法
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参考文献：
最短路问题 四种最短路算法 dijkstra算法 Floyd算法 Prim与Dijkstra算法的区别 Bellman-Ford算法 SPFA算法
