【剑指offer】10 斐波那契数列

为什么要Mod 1e9+7

• 为什么要模1000000007（跟我念，一，八个零，七）。

  1. 大数相乘，大数的排列组合等为什么要取模
     • 1000000007是一个质数（素数），对质数取余能最大程度避免结果冲突/重复
     • int32位的最大值为2147483647，所以对于int32位来说1000000007足够大。
     • int64位的最大值为2^63-1，用最大值模1000000007的结果求平方，不会在int64中溢出。
     • 所以在大数相乘问题中，因为(a∗b)%c=((a%c)∗(b%c))%c，所以相乘时两边都对1000000007取模，再保存在int64里面不会溢出。
  2. 这道题为什么要取模，取模前后的值不就变了吗？
     • 确实：取模前 f(43) = 701408733, f(44) = 1134903170, f(45) = 1836311903, 但是 f(46) > 2147483647结果就溢出了。
     • 取模后 f(43) = 701408733, f(44) = 134903163 , f(45) = 836311896, f(46) = 971215059没有溢出。
     • 取模之后能够计算更多的情况，如 f(46)
     • 这道题的测试答案与取模后的结果一致。
  • 总结一下，这道题要模1000000007的根本原因是标准答案模了1000000007。不过大数情况下为了防止溢出，模1000000007是通用做法，原因见第一点。

题目1

• 让你求斐波那契数列

思路

• 方法1：一开始我一看就开了个数组记录
• 方法2：然后看别人的做法，发现我没必要开一个数组，因为这道题只要输出一次，所以存最近的两个值就好了
• 方法3：然后看到了别人的又加又减的做法，感觉很interesting，其实思想是一样的
  • b = a + b
  • a = b - a
  • 最后结果是 b
• 性能的话 感觉有点玄学，最下面的是方法1，中间方法2，最上面方法3
  • 
  • 不知道是不是因为加加减减的原因，方法3的运行时间居然那么长，其实感觉方法1方法2运行时间为0也很奇怪

代码

// solution 2
class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n==0||n==1) return n;
        int a, b, tmp;
        const int MOD = 1000000007;
        a=0,b=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            tmp = (a+b)%MOD;
            a = b;
            b = tmp;
        }
        return tmp;
    }
};
// solution 3
class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n==0||n==1) return n;
        int a, b, tmp;
        const int MOD = 1000000007;
        a=0,b=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            b = a + b;
            a = b - a;
            b = b%MOD;
        }
        return b;
    }
};

题目2

• 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
• 答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

思考

• 找规律，发现是斐波那契数列（毕竟上一题就是斐波那契数列）
• 除此之外，我是这样理解
  • \(f(i)\)：第 i 级台阶的跳法数
  • \(f(i) = f(i-1)+f(i-2)\)
  • 由于只有两种跳跃方法，所以可以是：
    • i-1级时的跳法，然后现在跳1级
    • i-2级时的跳法，然后现在跳2级
  • 注意特殊值，0的时候要是1才行（题目也有要求n=0时的值要是1）

代码

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        const int MOD = 1000000007;
        if(n==0||n==1) return 1;
        int a = 1, b = 1, tmp;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            tmp = (b + a)%MOD;
            a = b;
            b = tmp;
        }
        return b;
    }
};