方阵的特征值与特征向量

定义   设  是 阶方阵，若有数 和非零向量 ，使得

称数  是 的特征值，非零向量 是 对应于特征值 的特征向量。

例如   对  ，有 及向量 ，使得 ，这说明 是 的特征值， 是 对应于 的特征向量。

特征值和特征向量的求法：

1．   由  得 ，并且由于 是非零向量，故行列式 ，即

 （称之为 的特征方程）

由此可解出  个根 （在复数范围内），这就是 的所有特征值。

2．   根据某个特征值  ，由线性方程组 解出非零解 ，这就是 对应于特征值 的特征向量。

例   求  的特征值和特征向量。

解   由  ，得 ，解得 ；

对  ，求解 ，得 ，取对应于 的特征向量 ；

对  ，求解 ，得 ，取对应于 的特征向量 。

例   求  的特征值和特征向量。

解   由  ，解得 ；

对  ，解得对应的特征向量 ；

对  ，求解 ，得 ，取对应的特征向量 。

例   求  的特征值和特征向量。

解   由  ，解得 ；

对  ，解得对应的特征向量 ；

对  ，求解 ，得 ，

取对应的特征向量  。

特征值和特征向量的性质：

1 ．  ，

2 ．若  是 的特征向量，则对 ， 也是 的特征向量。

3 ．若  是 的特征值，则 是 的特征值，从而 是 的特征值。

4 ．  是 的 个特征值， 为依次对应的特征向量，若 各不相同，则 线性无关。