整数划分（递归）

 整数划分问题是算法中一个经典命题之一，有关问题的讲述在讲解到递归时基本都会提到；

所谓整数划分：指把一个正整数n写成如下形式：

       n=m1+m2+........mi;(mi为正整数，并且1<=mi<=n),则{ m1,m2,....mi}为n的一个划分。

       如果{ m1,m2,........mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,....,i)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

      例如n=4，它有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};//注意4=1+3和4=3+1被认为是同 一个划分。

      该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。

下面我们考虑f(n,m)的方法：递归

根据n和m的关系，考虑有一下几种情况：

1.当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分：{1}；

2.当m=1时，不论n的值为多少，也只有一种划分：n个1{1,1,1,1,1,1,.......1};

3.当n==m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

（1）划分中包含n的情况：只有一种划分，即{n};

 （2）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也比n小，即n的所有(n-1划分，因此f(n,n)=1+f(n,n-1);

4.当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此相当于f(n,n);

5.当n>m时，根据划分是否包含最大值m,分为两种情况：

   （1）划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,....xi}},其中{x1,x2,....xi}的和为n-m;因此为f(n-m,m);

   （2）划分中不包含m的情况，划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n,m-1)

           即f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1);

综上所述：

           n=1  or  m=1    f(n,m) = 1;

           n<m                  f(n,n)

           n==m               1+f(n,m-1)

           n>m                  f(n-m,m)+f(n,m-1);

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
//整数划分递归算法 
int f(int n,int m)
{
	if(n==1||m==1) return 1;
	if(n<m) return f(n,n);
	if(n==m) return 1+f(n,m-1);
	if(n>m)  return f(n-m,m)+f(n,m-1);
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout<<f(n,n)<<endl;
	return 0;   
}