Strassen算法

问题

n×n的两个方阵a和b相乘，简单考虑，复杂度为O(n^3)。Strassen算法给出了优化。

例子

将n×n矩阵划分为子矩阵后再相乘

普通分治

采用递归划分矩阵直至子矩阵变为1×1

运行时间

令T(n)为两个n×n矩阵相乘时间

• n=1
  T(1) = Θ(1)

• n>1

  • 分解矩阵Θ(1)
  • 8次递归8T(n/2)
  • 4次矩阵加法Θ(n^2)

  T(n)=Θ(1)+8T(n/2)+Θ(n^2)=8T(n/2)+Θ(n^2)

运行时间递归式

使用主方法求解递归式，得到T(n)=Θ(n^3)

Strassen算法

• 创建10个如下矩阵
  
  花费时间Θ(n^2)

• 计算7次如下乘法
  
  花费时间7T(n/2)

• 计算C
  
  
  
  
  花费时间Θ(n^2)

运行时间递归式

递归式的解为