学数答题160909-取整函数

题160908（14分）对正整数$n$及一切实数$x$，求证：

$\left[ x \right]+\left[ x+\dfrac{1}{n} \right]+\left[ x+\dfrac{2}{n} \right]+\cdots +\left[ x+\dfrac{n-1}{n} \right]=\left[ nx \right]$．

注：$\left[ x \right]$为取整函数，即不超过$x$的最大整数．

---

 

题目来源：重要恒等式——厄尔米特恒等式，特别地，$n=2$时有$\left[ x \right]+\left[ x+\dfrac{1}{2} \right]=\left[ 2x \right]$．

解：对任意的正整数$n$，构造函数$f\left( x \right)=\left[ nx \right]-\left[ x \right]-\left[ x+\dfrac{1}{n} \right]-\left[ x+\dfrac{2}{n} \right]-\cdots -\left[ x+\dfrac{n-1}{n} \right]$，

则$f\left( x+\dfrac{1}{n} \right)$

$=\left[ nx \right]+1-\left[ x+\dfrac{1}{n} \right]-\left[ x+\dfrac{2}{n} \right]-\cdots -\left[ x+\dfrac{n-1}{n} \right]-\left( \left[ x \right]+1 \right)$

$=f\left( x \right)$

所以函数$f\left( x \right)$为周期函数，其周期$T=\dfrac{1}{n}$，

因此原命题只需证明$f\left( x \right)=0$在区间内成立即可，显然成立．

---

 

法2：设$x=\left[ x \right]+\left\{ x \right\}$，且$\left\{ x \right\}\in \left[ \dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n} \right)$，$k$是非负整数．

右端$=n\left[ x \right]+\left[ n\left\{ x \right\} \right]=n\left[ x \right]+k$，

左端$=n\left[ x \right]+\left[ \left\{ x \right\}+\dfrac{1}{n} \right]+\left[ \left\{ x \right\}+\dfrac{2}{n} \right]+\cdots ++\left[ \left\{ x \right\}+\dfrac{n-1}{n} \right]$，

注意到$\left\{ x \right\}\in \left[ \dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n} \right)$，显然从$\left[ \left\{ x \right\}+\dfrac{n-k}{n} \right]$项起都是$1$，

即$\left[ \left\{ x \right\}+\dfrac{n-k}{n} \right]=\left[ \left\{ x \right\}+\dfrac{n-\left( k-1 \right)}{n} \right]=\cdots =\left[ \left\{ x \right\}+\dfrac{n-1}{n} \right]=1$，

共$k$个$1$（之前其他项都是$0$）．

从而左端也是$n\left[ x \right]+k$，得证．