学数答题160906-不等式最值

已知$\vartriangle ABC$的面积为$1$，$D,E$分别是边$AB,AC$上的点，$F$为线段$DE$上的一点，设$AD:AB=x$，$AE:AC=y$，$DF:DE=z$且$y+z-x=1$．求$\vartriangle BDF$的面积的最大值并求出此时$x,y,z$的值．

---

解：如图，连结$BE$：

 

由三角形的面积公式$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$可以得到

${{S}_{\vartriangle ADE}}=xy{{S}_{\vartriangle ABC}}=xy$，${{S}_{\vartriangle BCE}}=(1-y){{S}_{\vartriangle ABC}}=1-y$，

所以有${{S}_{\vartriangle BCD}}=1-xy-(1-y)=y(1-x)$，

从而有${{S}_{\vartriangle BDF}}=z{{S}_{\vartriangle BDE}}=zy(1-x)$$\le {{\left( \dfrac{z+y+1-x}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8}{27}$．

当$y=z=1-x$时，即$x=\dfrac{1}{3}$，$y=z=\dfrac{2}{3}$时等号成立，

此时$\vartriangle BDF$的面积有最大值$\dfrac{8}{27}$．