题解：P13097 [FJCPC 2025] 割点

好妙的题目，参考了官方题解才做出来。

题目的关键约束是：点 \(1\) 必须是割点，点 \(n\) 必须不是割点；给定的 01 串规定了内部各点是否为割点；所有顶点度数需满足非增序列。若把“是否为割点”用树论语言描述，可借助圆方树的结论：在一棵树里，叶子一定不是割点，而度数 \(\ge 2\) 的内部结点一定是割点。因此只要把所有非割点做成叶子、所有割点做成内部点，就能同时满足割点判定与度数条件。由此问题转化成：怎样选边，让指定的 \(0\) 变成叶子、指定的 \(1\) 变成内部结点，并保持连通。

首先，内部若没有 \(0\)，则所有内部点都要求是割点，无法给点 \(1\) 留下一条叶子边，必无解。若恰有一个 \(0\)，但它不在 \(n-1\) 位置，那么在 \(0\) 之后仍出现 \(1\)，会导致后面的割点度数 \(\ge 2\) 而编号更大，破坏度数单调，同样无解。其余情况一定可行。

当内部 \(0\) 至少两个时，取最前两个 \(0\)，记为 \(p,q\)。连边 \(1-p\)、\(1-q\)，再把剩余 \(0\) 按编号依次首尾相接插在 \(p\) 与 \(q\) 之间，形成一条“叶环”，环上全部顶点度数为 \(2\)，但因为任意一处断开后环仍连通，故它们都不是割点。对所有内部 \(1\)，则按编号升序串成一条链，首端接点 \(1\)，尾端接点 \(n\)。链上每个点度数恰为 \(2\)，删除即可把整条链分成左右两段，因而是割点。点 \(1\) 现有至少三条边：两条指向 \(p,q\) 和一条指向链，度数最大；点 \(n\) 只有一条来自链，保证不是割点且度数最小。其余内部 \(0\) 由于在环上度数为 \(2\)，不影响度序单调。

当唯一内部 \(0\) 位于 \(n-1\) 时，把全部内部 \(1\) 按编号连成链，接在 \(1\) 与 \(n\) 之间，再单独把 \(n-1\) 作为叶子挂到 \(1\) 上即可。此时链上所有 \(1\) 是割点，\(n-1\) 是叶子非割点，点 \(n\) 仍是叶子非割点，度序为 \((d_1,d_2,\dots,d_n)=(k+1,2,\dots,2,1,1)\) 满足非增。

时间复杂度 \(O(n)\)。

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