题解：CF2123G Modular Sorting

把模数记作 \(m\)。一次加 \(k\) 操作不会改变元素对 \(d=\gcd(k,m)\) 的余数，因此数组被永久地分进 \(d\) 个同余类。将每个同余类排成一列，其值依次是 \(0,d,2d,\dots ,m-d\)。整张表有 \(d\) 列、\(h=m/d\) 行；列内元素从低到高严格递增，列间互相独立。

从左到右扫描原数组，用贪心策略给每个 \(a_i\) 选尽量低的行：若 \(a_i\bmod d\ge a_{i-1}\bmod d\)，放在同一行即可；否则只能放到上一行，此时产生一次换行。

对固定的 \(d\)，整个扫描得到换行次数 \(\text{cnt}_d\)。若 \(\text{cnt}_d<h\)，仍有行可用，数组可排成非降序；若 \(\text{cnt}_d=h\)，列已用完，无论怎样都无法排好顺序。因此一次查询 YES 的条件是 \(\text{cnt}_{\gcd(k,m)}<m/\gcd(k,m)\)。

预先列出 \(m\) 的所有正约数并为每个 \(d\) 保存 \(\text{cnt}_d\)。这里约数个数用算术函数 \(\tau(m)\) 表示，且 \(\tau(m)\le128\)（因为 \(m\le5\times10^{5}\)）。初始化时对每个 \(d\) 各扫描一遍数组，复杂度 \(O(n\tau(m))\)。

赋值操作 \(a_p\leftarrow x\) 仅影响相邻两对元素 \((p-1,p)\) 与 \((p,p+1)\)。对每个 \(d\) 只需常数时间把对应的换行计数修正，整次修改 \(O(\tau(m))\)。查询时先求 \(g=\gcd(k,m)\)，再检索并比较，亦为 \(O(\tau(m))\)。总时间复杂度 \(O\bigl((n+q)\,\tau(m)\bigr)\)。

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