题解：B4323 [科大国创杯小学组 2025] 改写

问题描述

给定一个字符串 \(s\)，它由若干段构成。每一段由一个小写字母 \(c\) 和一个正整数 \(len\) 表示，表示该段由 \(c\) 重复 \(len\) 次构成，且相邻段的字母不同。

要求将 \(s\) 划分成若干个非空子段，要求每个子段都不是回文串，即对任意子段 \(r\)，必须满足 \(r_1 \ne r_m\)。其中 \(r_1\) 和 \(r_m\) 分别为子段的首尾字符。目标是让划分出的子段数最多，并输出这个数量；如果无解，输出 \(-1\)。

Solution

第一眼以为要动态规划，其实是个很简单的贪心，下面进行分讨。

1. 特殊情况

• 当 \(n=1\) 时，整个字符串由一段构成，所有字符均相同，必然构成回文，所以无解，输出 \(-1\)。

• 当 \(n=3\) 时，如果满足 \(c_1=c_3,len_1=len_3,len_2=1\)，
  那么无论如何划分，都必然存在某个子段为回文，此时输出 \(-1\)。

2. 分情况讨论

（1）所有段的长度都为 \(1\)。

此时整个字符串 \(s\) 表示为交替排列的字符，每一段都只有一个字符。注意划分时需要保证子段长度为偶数（因为偶数长度的子段首尾必然不同），否则奇数长度子段会因对称而构成回文。

• 设 \(n\) 为段数，理论上最大的划分数初步为 \(\lfloor n/2 \rfloor\)。
• 但如果所有奇数位置的字符相同（即 $ c_1=c_3=\cdots $），那么在这些位置上可能会强制形成某个奇数长度子段，此时必须将答案减 \(1\)。
• 此外，如果偶数位置的字符也全部相同，则无论如何划分都无法避免回文，输出 \(-1\)。

（2）存在至少一段的长度大于 \(1\)。

这种情况下，由于某段字符数 \(\text{len}>1\)，可以利用该段在分割时“破坏”回文的对称性。贪心思想如下：

• 从第 \(1\) 段开始，将第 \(1\) 段作为子段的开始，然后遍历后续段；
• 用一个标志变量记录“当前子段是否已开始”。若标志未开启，则开启；若已开启，则在遇到下一个段时切分，并判断当前段的 \(\text{len}\) 是否大于 \(1\)：
  • 如果 \(\text{len}>1\)，则切分后重新开启一个子段；
  • 否则关闭标志，等待后续段拼接。

这样贪心划分能够尽可能多地切分出非回文子段。

综上

• \(n=1\) 或特殊 \(n=3\) 时无解。
• 若所有段均 \(1\)，必须保证分割后子段长度为偶数，故需要检查奇、偶位置字符分布，并实时调整答案。
• 存在至少一段长度大于 \(1\) 时，使用贪心灵活切分，获得最多子段数。

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