题解：AT_abc395_g [ABC395G] Minimum Steiner Tree 2

Problem

题目给定一个完全图，其中每条边的权重由矩阵 \(C\) 给出，且满足 \(C_{i,i}=0\) 和 \(C_{i,j}=C_{j,i}\)。要求构造一个好图，即从原图中删除部分边和顶点后，剩下的图是连通的且包含以下顶点：

• 固定的 \(1,2,\dots,K\)。
• 以及查询中的两个额外顶点 \(s\) 和 \(t\)（其中 \(s,t \in \{K+1,\dots,N\}\) 且 \(s\neq t\)）。

要求最小化好图中边权的总和。

Solution

这实际上是一个带有少量终端点（固定点）的 Steiner Tree 问题，并且每个查询要求额外连接两个指定的顶点。

由于图为完全图且任意两点之间都有直接连边，且 \(N\) 特别小，所以首先使用 Floyd 预处理出所有点对之间的最短距离，这样在后续动态规划中使用的边权已经是最优的。

对于每个额外顶点 \(s\)（范围为 \(K\) 到 \(N-1\)），将终端集合设为：

• 固定顶点 \(1,2,\dots,K\)（下标 \(0\) 到 \(K-1\)）。
• 以及当前选择的顶点 \(s\)（作为第 \(K+1\) 个终端）。

令终端数为 \(m = K + 1\)，定义状态：

\[dp[\text{mask}][v] = \text{连接 mask 中所有终端且最后在顶点 } v \text{ 的最小费用} \]

初始状态为：对于只包含一个终端（单个 \(1\) 的 \(\text{mask}\)），直接赋值为该终端到各顶点的最短距离。

枚举每个 \(\text{mask}\) 的所有子掩码，将 \(\text{mask}\) 拆分为两个不相交的子集 \(sub\) 与 \(ot\)，并更新状态：

\[dp[\text{mask}][v] = \min\{dp[sub][v] + dp[ot][v]\} \]

对于当前状态 \(dp[\text{mask}][v]\)，考虑从顶点 \(v\) 出发经过一条边到达顶点 \(u\)，更新：

\[dp[\text{mask}][u] = \min\{dp[\text{mask}][u],\ dp[\text{mask}][v] + d(v, u)\} \]

最终对于每个选定的 \(s\) 和所有可能的 \(t\)（且 \(t \neq s\)），答案为：

\[\min_{v}\{ dp[(1<<m)-1][v] + d(v, t) \} \]

预处理所有可能的 \(s\) 和 \(t\) 后，直接回答每个查询。

Code