AT_abc391_e [ABC391E] Hierarchical Majority Vote 题解

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题目大意

定一个长度为 \(3^N\) 的二进制字符串 \(A\)，通过 \(N\) 次操作将其压缩为长度为 \(1\) 的字符串 \(A'_1\)。每次操作将字符串分成长度为 \(3\) 的组，取每组的多数值作为新字符串的元素。目标是通过最少的修改次数（将 \(0\) 改为 \(1\) 或将 \(1\) 改为 \(0\)），使得最终的 \(A'_1\) 发生变化。

解题思路

1. 操作过程：
   每次操作都将字符串分成每 \(3\) 个字符为一组，对每组的 \(3\) 个字符取多数值：如果大于等于 \(2\) 个字符是 1，则该组的值为 1，否则为 0。每次操作都会使得字符串的长度缩小为原来的三分之一。

2. 目标：
   我们最终希望通过最少的位变化，将经过 \(N\) 次操作后得到的字符串的结果从当前值变为相反的值。

3. 步骤：

   • 模拟操作：
     从输入字符串 $ A$ 开始，反复执行 $ N$ 次操作，得到最终的一个字符。
   • 计算最小改变次数：
     对于每次操作，我们需要计算在将字符串压缩的过程中，最少需要改变多少个位来改变最终结果。

4. 数据结构：
   使用一个结构体 ST 来存储每个字符变为 0 和变为 1 的代价。然后，通过动态规划的方式，逐步计算出最少的改变次数。

动态规划思路

通过动态规划，我们逐步压缩字符串，计算每次压缩的代价，并最终得出最少修改次数。每一步的状态转移考虑当前字符的变换代价，以确保最小化最终的修改次数。

1. 状态定义：
   对于每个子串（每 \(3\) 个字符），我们需要知道将其压缩成 0 或 1 的代价。这个代价的计算基于每个字符变为 0 或 1 的代价。

2. 操作过程：

   • 每次操作都将字符串的长度缩小为原来的三分之一，每 \(3\) 个字符会根据多数值生成新的字符。
   • 我们计算每组字符（\(3\) 个字符）压缩为 0 或 1 的代价。我们希望通过最少的改变次数，决定当前字符的转换方式。

3. 转移方程：
   对于每组 \(3\) 个字符，我们可以遍历每种可能的组合（变为 0 或 1），然后选择使得多数值符合目标的最小代价。最终，动态规划状态会记录每个位置的最小代价。

4. 最小改变次数：
   每次操作后，通过动态规划更新状态，并计算最小改变次数。最终，我们得到将字符串最终值从当前的 0 或 1 转换为目标值的最小操作次数。

5. 结果计算：
   完成 \(N\) 次操作后，通过动态规划数组中存储的代价，计算最少修改次数，得出最终结果。

时间复杂度

每次操作都会将字符串的长度减少为原来的三分之一。每次对 \(3\) 个字符的子串进行处理，因此总体时间复杂度为 \(\text{O}(3^N)\)。对于 \(N \leq 13\) 的情况下，是完全可以被接受的。

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