概率函数与似然函数

对于这个函数：

\[P(x| \theta) \]

输入有两个： \(x\) 表示某一个具体的数据；\(\theta\) 表示模型的参数。

（1）如果\(\theta\) 是已知确定的，\(x\)是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点\(x\)，其出现概率是多少。

（2）如果\(x\)是已知确定的，\(\theta\)是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现\(x\)这个样本点的概率是多少。

这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如，\(f(x, y) = x^y\), 即\(x\)的 \(y\)次 方 。

• 如果\(x\)是 已 知 确 定 的 ( 例如\(x = 2\)) ， 这 就 是 \(f(y) = 2^y\), 这 是 指 数 函 数 。

• 如果\(y\)是 已 知 确 定 的 (例如\(y = 2\)) ， 这 就 是\(f(x) = x^2\)，这是二次函数。

同一个数学形式，从不同的变量角度观察，可以有不同的名字。
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