整数的分解方法

腾讯 2017春招真题

题目

如下示例：
1：共0种分解方法；
2：共0种分解方法；
3：3=2+1 共1种分解方法；
4：4=3+1=2+1+1 共2种分解方法；
5：5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1 共5种分解方法
6：6=5+1=4+2=4+1+1=3+2+1=3+1+1+1=2+2+1+1=2+1+1+1+1 共7种分解方法
以此类推，求一任意整数num有几种分解方法？
输入一个数字（1到90），输出该整数的分解方法个数
如：
输入：2——输出：0
输入：3——输出：1
输入：5——输出：5

分析

为保证输出的唯一性，保持降序排列
列表分析3~7的分解情况：

当前数	分解情况以1结尾	分解情况以2结尾	分解情况以3结尾	分解情况总数
3	① 2+1	---	---	1
4	① 3+1 ② 2+1+1 （②是将3进一步分解）	--- （2+2不算，分解出来的数不能都相等）	---	2
5	① 4+1 ② 2+2+1 ③ 3+1+1 ④ 2+1+1+1 （②--④是将4进一步分解，此时4=2+2也算）	① 3+2	---	5
6	① 5+1 ② 4+1+1 ③ 2+2+1+1 ④ 3+1+1+1 ⑤ 2+1+1+1+1 ⑥ 3+2+1 （②--⑥是将5进一步分解）	① 4+2	--- （3+3不算）	7
7	① 6+1 ② 3+3+1 ③ 5+1+1 ④ 4+1+1+1 ⑤ 2+2+1+1+1 ⑥ 3+1+1+1+1 ⑦ 2+1+1+1+1+1 ⑧ 3+2+1+1 ⑨ 4+2+1 （②--⑨是将5进一步分解）	① 5+2 ② 3+2+2 （②是将5进一步分解，且只取5的分解情况中结尾数>=2的，才能保证降序排列）	① 4+3	12

总结分解方法：

• 对于数num，按照分解情况的结尾数字考虑：以1结尾，以2结尾，...，以Math.floor((num - 1) / 2)结尾，每种结尾都先进行一次分解（以7为例，以1结尾时分解成6+1，以2结尾分解成5+2，以3结尾分解成4+3）
• 对于第一次分解出的两个数（num1，num2），进一步分解num1，且只在num1 > 2*num2 时分解num1（否则无法保证降序，例：5=3+2，3继续分解出2+1，则5=2+1+2不是降序）
• 若num1是偶数，计算分解情况时+1（例：5=4+1，进一步分解4时，要考虑4=2+2）
• 保证num1进一步分解的结尾的数>=num2（例：7=5+2，进一步分解5时，只能将5分解成3+2，若分解成任意以1结尾的情况，如4+1，则7=4+1+2不是降序）
  
  
  因此，我们运用动态规划的方法，从3开始往大数分析，构造二维数组，横坐标表示当前分析的数，纵坐标表示当前分解情况结尾的数

解答

解法1：（我）

import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while (sc.hasNext()){
            int num = sc.nextInt();
            int result = 0;

            int[][] arr = new int[num+1][];
            for(int i = 3; i <= num; i++){
                int columnNum = (int)Math.floor((i-1)/2d);
                arr[i] = new int[columnNum];
                for(int j = 0; j < columnNum; j++){
                    arr[i][j] = 1;
                    int num2 = j + 1;
                    int num1 = i - num2;
                    if(num1 > 2 * num2){//只有这种情况才分解
                        if(num1 % 2 == 0){//num1是偶数，计算分解情况时+1
                            arr[i][j]++;
                        }
                        //计算数1的分解情况
                        for (int k = j; k < arr[num1].length; k++){
                            arr[i][j] += arr[num1][k];
                        }

                    }
                }

            }
//            输出整个二维数组的情况
//            for(int i = 3; i <= num; i++){
//                for(int j = 0; j < arr[i].length;j++){
//                    System.out.println("arr["+i+"]["+j+"] is: "+arr[i][j]);
//                }
//            }
            if(num == 1 || num == 2) result = 0;
            else{
                for(int i = 0; i < arr[num].length;i++){
                    result += arr[num][i];
                }
            }
            System.out.println(result);
        }
    }
}