2018四川高考文科21题

\(a\geqslant 1\)时，证明:\(\dfrac{ax^2+x-1}{\text{e}^x}+\text{e}\geqslant 0\)

方法（一）(切线放缩法)证明:原不等式等价于\(ax^2+x-1+\text{e}^{x+1}\geqslant 0\),

\(ax^2\geqslant x^2\) and \(\text{e}^{x+1}\geqslant (x+1)+1\)(这里需要证明一下)

原不等式等价于证明\(ax^2+x-1+\text{e}^{x+1}\geqslant x^2+2x+1=(x+1)^2\geqslant 0\)

方法（二）(不分离)令\(f(x)=\dfrac{ax^2+x-1}{\text{e}^x}+\text{e}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{-(x-2)(ax+1)}{\text{e}^x}\)

\(\Rightarrow f(x)\)在\((-\infty,-\dfrac{1}{a}\)上单减，在\((-\dfrac{1}{a},2)\)上单增，在\((2,+\infty)\)上单减，且当\(x\rightarrow +\infty\)时\(f(x)>0\) and \(f(x)\rightarrow 0\)

因此只需\(f(-\dfrac{1}{a})\geqslant 0\)

而\(f(-\dfrac{1}{a})=\cdots=-\text{e}^{\frac{1}{a}}+\text{e}\geqslant 0\)

方法（三）(半分离)要讨论三种情况，略去

方法（四）(全分离)(1)\(x=0\)时原不等式恒成立

(2)\(x\neq 0\)时原不等式等价于\(a\geqslant \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{\text{e}^{x+1}}{x^2}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(2-x)(\text{e}^{x+1}-1)}{x^3}\)

\(\Rightarrow f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上单增，在\((-1,0)\)上单减，在\((0,2)\)上单增，在\((2,+\infty)\)上单减

\(\Rightarrow a\geqslant max\{f(-1),f(2)\}=f(-1)=1\),证毕.

方法（五）(公切线法，但计算量大，不建议使用)

方法（六）方法不断完善中.......