绵阳市2014级三诊12题(理科)

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已知函数\(f(x)=2\ln x-ax^2+3\)，若存在实数\(m,n\in [1,5]\)满足\(n-m\geqslant 2\)时，\(f(m)=f(n)\)成立，则实数\(a\)的最大值是\(\underline{\qquad\qquad\blacktriangle\qquad\qquad}.\)

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我的解法：

由题可知\(2\ln m-am^2+3=2\ln n-an^2+3\Rightarrow \dfrac{2}{a(m+n)}=\dfrac{m-n}{\ln m-\ln n}< \dfrac{m+n}{2}\)(对数平均值不等式)

\(\Rightarrow \dfrac{m+n}{2}< \dfrac{1}{\sqrt{a}}\Rightarrow\)极值点\(x_0=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)左偏，

\(\Rightarrow f(3)\geqslant f(1)\Rightarrow a\leqslant \dfrac{\ln 3}{4}.\)

有空我再配个图！

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另一牛X老师的解法(我估计命题老师就想考这种方法)：

\(2\ln m-am^2+3=2\ln n-an^2+3\Rightarrow a=\dfrac{\ln m^2-\ln n^2}{m^2-n^2}\)

看结构，构造函数\(g(x)=\ln x\),则\(a\)的几何意义为点\((m^2,g(m^2))\)与点\((n^2,g(n^2))\)连线的斜率，其余不用我多讲了吧！

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