成都市高2026届一诊数学第19题(3)

求证：\(C_n^1 - \frac{1}{2} C_n^2 + \cdots + \frac{1}{n} (-1)^{n-1}C_n^n =1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\)

证明：令 \(f(x)= C_n^1 x + \frac{1}{2} C_n^2 x^2 + \cdots + \frac{1}{n} C_n^n x^n\)，则， 左边 \(= -f(-1)\)

求导得：
\(f'(x) = C_n^1 + C_n^2 x + \cdots + C_n^n x^{n-1}\)

两边乘以 \(x\) 并加 \(1\)：
\(x f'(x) + 1 = 1 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \cdots + C_n^n x^n = C_n^0 + C_n^1 x + \cdots + C_n^n x^n\)

由二项式定理得：
\(x f'(x) + 1 = (1+x)^n, \quad \text{且} \quad f(0) = 0\)

整理得：
\(f'(x) = \frac{(1+x)^n - 1}{(x+1)-1} = (1+x)^{n-1} + (1+x)^{n-2} + \cdots + (1+x)^1 + (1+x)^0\)

积分得：
\(f(x) = \frac{(1+x)^n}{n} + \frac{(1+x)^{n-1}}{n-1} + \cdots + \frac{(1+x)^2}{2} + \frac{(1+x)^1}{1} - \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\right)\)

代入 \(x = -1\) 得：
\(-f(-1)=1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\)

即\(C_n^1 - \frac{1}{2} C_n^2 + \cdots + \frac{1}{n} (-1)^{n-1}C_n^n =1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\)