树状数组(Binary Indexed Tree) 总结

1.“树状数组”数据结构的一种应用

  对含有n个元素的数组(a[1],...,a[k],...,a[n]):

  (1)求出第i个到第j个元素的和,sum=a[i]+...+a[j]。

    进行j-i+1次加法,复杂度为O(j-i+1)

  (2)任意修改其中某个元素的值。

    使用数组下标可以直接定位修改,时间复杂度为O(1)

   对于同时支持上述两种操作的系统中,求和操作(1)求任意连续个数组元素和的平均时间复杂度为O(n),修改操作(2)时间复杂度是O(1)。如果系统中大量进行上述两种操作m次,其中执行操作(1)概率1/p,操作(2)概率1-1/p,则系统时间复杂度为:

  可以使用树状数组使得上述两种操作的时间复杂度为O(m*logn)

2.树状数组介绍

  核心思想:

    (1)树状数组中的每个元素是原数组中一个或者多个连续元素的和。

    (2)在进行连续求和操作a[1]+...+a[n]时,只需要将树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)

    (3)在进行修改某个元素a[i]时,只需要修改树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)

  下图就是一个树状数组的示意图:

  解释如下:

  1) a[]: 保存原始数据的数组。(操作(1)求其中连续多个数的和,操作(2)任意修改其中一个元素)

    e[]: 树状数组,其中的任意一个元素e[i]可能是一个或者多个a数组中元素的和。如e[2]=a[1]+a[2]; e[3]=a[3]; e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]。 

  2) e[i]是几个a数组中的元素的和?

    如果数字 i 的二进制表示中末尾有k个连续的0,则e[i]是a数组中2^k个元素的和,则e[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i-1]+a[i]。

    如:4=100(2)  e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

      6=110(2)  e[6]=a[5]+a[6]

      7=111(2)  e[7]=a[7]

  3) 后继:可以理解为节点的父亲节点。离它最近的,且编号末位连续0比它多的就是的父亲,如e[2]是e[1]的后继;e[4]是e[2]的后继。

      如e[4] = e[2]+e[3]+a[4] = a[1]+a[2]+a[3]+a[4] ,e[2]、e[3]的后继就是e[4]。

      后继主要是用来计算e数组,将当前已经计算出的e[i]添加到他们后继中。

    前驱:节点前驱的编号即为比自己小的,最近的,最末连续0比自己多的节点。如e[7]的前驱是e[6],e[6]的前驱是e[4]。

        前驱主要是在计算连续和时,避免重复添加元素。

      如:Sum(7)=a[1]+...+a[7]=e[7]+e[6]+e[4]。(e[7]的前驱是e[6], e[6]的前驱是e[4])

    计算前驱与后继:

      lowbit(i) = ( (i-1) ^ i) & i ;

      节点e[i]的前驱为 e[ i - lowbit(i) ];

      节点e[i]的前驱为 e[ i + lowbit(i) ]

3.树状数组代码示例

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 int input(int*,int*,int);    ///输入数据
 7 int calStageSum(int*,int);    ///计算树状数组
 8 int getSum(int*,int);    ///求出前n个数字的和
 9 int updataElement(int*,int*,int,int,int);    ///更新某一位置上的元素
10 
11 int main (){
12     int n;
13     int newValue;
14     cout<<"Input the n(n>3) :";
15     cin>>n;
16 
17     int *num = new int[n+1];
18     int *sum = new int[n+1];
19 
20     cout<<"Input "<<n<<" numbers"<<endl;
21     input(num,sum,n);
22     calStageSum(sum,n);
23 
24     cout<<"The sum of first three number:"<<getSum(sum,3)<<endl;
25 
26     cout<<"Update the 2nd number value:";
27     cin>>newValue;
28     updataElement(sum,num,n,2,newValue);
29 
30     cout<<"The sum of first three number:"<<getSum(sum,3)<<endl;
31 
32     delete []num;
33     delete []sum;
34     return 0;
35 }
36 
37 int input(int* num,int *sum,int n){
38     for(int i=1;i<=n;i++){
39         cin>>num[i];
40         sum[i] = num[i];
41     }
42     return 0;
43 }
44 
45 int calStageSum(int *sum,int n){
46     int lowbit;
47     int par;
48     for(int i=1;i<=n;i++){
49         lowbit = ((i-1)^i)&i;
50         par = lowbit+i;   ///后继节点id
51         if(par <= n){
52             sum[par] = sum[par] + sum[i];
53         }
54     }
55     return 0;
56 }
57 
58 int getSum(int* sum,int n){
59     int sumPreN = 0;
60     int lowbit  = 0;
61     while(n!=0){
62         sumPreN += sum[n];
63         lowbit = ((n-1)^n)&n;
64         n = n - lowbit; ///前驱节点id
65     }
66     return sumPreN;
67 }
68 
69 int updataElement(int* sum,int *num,int n,int pos,int newvalue){
70     int lowbit = 0;
71     int dis = newvalue - num[pos];
72     num[pos] = newvalue;
73     sum[pos] = sum[pos]+dis;
74 
75     while(true){
76         lowbit = ((pos-1)^pos)&pos;
77         pos = pos + lowbit; ///后继节点id
78         if(pos <= n){
79             sum[pos] = sum[pos]+dis;
80         }
81         else
82             break;
83     }
84     return 0;
85 }
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posted on 2014-06-11 23:54  旭东的博客  阅读(11701)  评论(3编辑  收藏

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