重积分的应用@物体对外部质点的引力问题

文章目录

• • 引力(`*`)
  • • 分析
    • 两质点间的引力公式
    • 三重积分计算引力
    • 薄片情形
    • 计算
    • • 例

引力(*)

• 这里讨论的是:空间一物体对于物体外一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处单位质量的质点的引力

分析

• 仍然使用元素法,
  • 设占有空间有界闭区域$\Omega$,在点$P(x,y,z)$处的密度(体密度)为$\rho (x,y,z)$,并假定$\rho (x,y,z)$在$\Omega$上连续;
  • 在物体内任意取一直径很小的闭区域$\mathrm{d}v$,其体积也记为$\mathrm{d}v$
  • $P(x,y,z)$是这一小块闭区域上的一个点,因为$\mathrm{d}\sigma$的直径很小,且$\rho (x,y,z)$在$D$上连续,所以这一小块物体的质量$\rho \mathrm{d}v$近似看作集中在点$P$上

两质点间的引力公式

• 设空间中两质点$P_0(x_0,y_0,z_0)$与$M(x,y,z)$,质量分别为$m_1,m_2$,两点间距离为$r$=$|\overrightarrow{P_{0}M}$=$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}$(1)

• 则$M$对$P_0$的引力$|\mathbf{F}|$大小为$|\mathbf{F}|$=$G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$(2)

• 力是向量,这里$\mathbf{F}$的方向为$\overrightarrow{P_{0}M}$=$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$(3),该方向的方向余弦为$\cos \alpha$=$\frac{x-x_0}{r}$,$\cos \beta =\frac{y-y_0}{r}$,$\cos \gamma =\frac{z-z_0}{r}$(4)

• 从而$\mathbf{F}$=$({\mathbf{F}}_x,{\mathbf{F}}_y,{\mathbf{F}}_z)$=$(|\mathbf{F}|\cos \alpha ,|\mathbf{F}|\cos \beta ,|\mathbf{F}|\cos \gamma )$=$(G\frac{m_1{m}_2(x-x_0)}{r^3},G\frac{m_1{m}_2(y-y_0)}{r^3},G\frac{m_1{m}_2(z-z_0)}{r^3})$(5)

  • 其中$r^3$=$[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}$(5-1)

• 这就是质点$M$,对质点$P$的引力(注意力是区分方向的,谁对谁的引力要区分清楚)

  • 准确表示$(x,y,z)$点对$(x_0,y_0,z_0)$的吸引可以表示为${\mathbf{F}}_{(x,y,z)\leftarrow (x_0,y_0,z_0)}$
  • 如果是$P$对$M$的引力方向相反,上述公式要取一个负号)

• 特别的,若质点$P_0$是单位质量$1$,则公式变为$\mathbf{F}$=$(G\frac{m_1(x-x_0)}{r^3},G\frac{m_1(y-y_0)}{r^3},G\frac{m_1(z-z_0)}{r^3})$(6)

三重积分计算引力

• 并由两质点间的引力公式,可得元素对应的小块物体对位于$P_0$处的单位质量质点的引力近似为
  • $\mathrm{d}\mathbf{F}$=$(\mathrm{d}{\mathbf{F}}_x,\mathrm{d}{\mathbf{F}}_y,\mathrm{d}{\mathbf{F}}_z)$=$(G\frac{\rho (x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v,G\frac{\rho (x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v,G\frac{\rho (x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v)$(7)
    • $\mathrm{d}{\mathbf{F}}_x,\mathrm{d}{\mathbf{F}}_y,\mathrm{d}{\mathbf{F}}_z$为引力元素$\mathrm{d}\mathbf{F}$在三个坐标轴上的分量
    • $r$=$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}$,表示区域内点$(x,y,z)$与$(x_0,y_0,z_0)$的距离
    • $G$为引力常数
• 对$\mathrm{d}{\mathbf{F}}_x,\mathrm{d}{\mathbf{F}}_y,\mathrm{d}{\mathbf{F}}_z$在$\Omega$上分别积分,得
  • $\mathbf{F}$=$(\mathrm{d}{\mathbf{F}}_x,\mathrm{d}{\mathbf{F}}_y,\mathrm{d}{\mathbf{F}}_z)$=$({\iiint }_{\Omega }G\frac{\rho (x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v,{\iiint }_{\Omega }G\frac{\rho (x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v,{\iiint }_{\Omega }G\frac{\rho (x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v)$(8)

薄片情形

• 对于薄片情形,将$\rho (x,y,z)$换为$\mu (x,y)$(体密度换为面密度),三重积分换为二重积分即可得到相应公式
  • $\mathbf{F}$​=$(\mathrm{d}{\mathbf{F}}_x,\mathrm{d}{\mathbf{F}}_y)$​=$({\iint }_{D}G\frac{\mu (x,y)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}\sigma ,{\iint }_{D}G\frac{\mu (x,y)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}\sigma )$(8-1)

计算

• 条件允许时,将坐标系建立在合适的位置比较容易计算
• 例如让$z$轴经过$\Omega$外的质点$P_0$的,使得$P_0$的坐标表示得简单:例如$(0,0,a)$

例

• 求半径为$R$均匀球$x^2+y^2+z^2⩽R^2$,对于点$P_0(0,0,a)$,$(a>R)$的单位质量质点的引力$\mathbf{F}$

• 将力分解到三个坐标轴上,考虑到球的对称性,任一点$(x,y,z)$都有与其对应的关于$z$轴对称的点$(-x,-y,z)$,这使得引力仅剩$z$轴方向的分量不会被抵消,则$\mathbf{F}={\mathbf{F}}_z$(0)

• ${\mathbf{F}}_z$=${\iiint }_{\Omega }G\frac{\rho (z-a)}{r^3}\mathrm{d}v)$=${\iiint }_{\Omega }G\frac{\rho (z-a)}{[x^2+y^2+(z-a{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}v$(1)

  • =${\iiint }_{\Omega }G\frac{\rho (z-a)}{[x^2+y^2+(z-a{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}v$;(2)利用先二后一的顺序积分

  • =$G\rho {\int }_{-R}^R(z-a)\mathrm{d}z{\iint }_{D_z}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{[x^2+y^2+(z-a{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$(3)

  • =$G\rho {\int }_{-R}^R(z-a)\mathrm{d}z{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{R^2-z^2}}\frac{r\mathrm{d}r}{(r^2+(z-a{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}$,(4)

    • 观察发现,其中${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta$可以先算出结果,为$2\pi$
    • 而${\int }_0^{\sqrt{R^2-z^2}}\frac{r\mathrm{d}r}{(r^2+(z-a{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}$中$(z-a{)}^2$视为常数部分,因为这是对$r$的定积分;应用第一类换元法,容易积出$-(r^2+(z-a{)}^2{)}^{-\frac{1}{2}}{|}_0^{\sqrt{R^2-z^2}}$=$-([R^2-z^2+z^2-2az+a^2{]}^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{|z-a|})$=$\frac{1}{a-z}-\frac{1}{\sqrt{R^2-2az+a^2}}$
      • 注意到$a>R⩾z$,所以$\frac{1}{|z-a|}$=$\frac{1}{a-z}$

  • =$2\pi G\rho {\int }_{-R}^R(z-a)(\frac{1}{a-z}-\frac{1}{\sqrt{R^2-2az+a^2}})\mathrm{d}z$(5)

  • =$2\pi G\rho {\int }_{-R}^R(-1-\frac{z-a}{\sqrt{R^2+a^2-2az}})\mathrm{d}z$=$2\pi G\rho (-2R+{\int }_{-R}^R\frac{a-z}{\sqrt{R^2+a^2-2az}}\mathrm{d}z)$(6)

    • 记其中$T={\int }_{-R}^R\frac{a-z}{\sqrt{R^2+a^2-2az}}\mathrm{d}z$=${\int }_{-R}^R-\frac{1}{2a}\cdot \frac{a-z}{\sqrt{R^2+a^2-2az}}\mathrm{d}(R^2+a^2-2az)$=$\frac{1}{a}{\int }_{-R}^R(z-a)\mathrm{d}(\sqrt{R^2+a^2-2az})$(7)
      • 这里用到$\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\mathrm{d}\sqrt{x}$或$\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\sqrt{x}$
    • 再利用分部积分$T$=$\frac{1}{a}[((z-a)\sqrt{R^2+a^2-2az}){|}_{-R}^R-{\int }_{-R}^R\sqrt{R^2+a^2-2az}\mathrm{d}(z-a)]$=$\frac{1}{a}[4aR-(2aR+\frac{2R^3}{3a})]$(8)
      • $((z-a)\sqrt{R^2+a^2-2az}){|}_{-R}^R$=$-(a-R{)}^2+(a+R{)}^2$=$4aR$(8-1)
      • $\int \sqrt{R^2+a^2-2az}\mathrm{d}(z-a)$=$\int \sqrt{R^2+a^2-2az}\mathrm{d}z$=$-\frac{1}{2a}\frac{2}{3}(R^2+a^2-2az{)}^{\frac{3}{2}}$=$-\frac{1}{3a}(R^2+a^2-2az{)}^{\frac{3}{2}}$(8-2)
      • ${\int }_{-R}^R\sqrt{R^2+a^2-2az}\mathrm{d}(z-a)$=$-\frac{1}{3a}(R^2+a^2-2az{)}^{\frac{3}{2}}{|}_{-R}^R$
        • =$-\frac{1}{3a}[(a-R{)}^3-(a+R{)}^3]$
        • =$-\frac{1}{3a}(a^3+3a^2(-R)+3a(-R{)}^2+(-R{)}^3-(a^3+3a^{2}R+3a{R}^2+R^3))$
        • =$-\frac{1}{3a}(-6a^{2}R-2R^3)$=$2aR+\frac{2R^3}{3a}$(8-3)
        • 注意这里$((R^2+a^2-2aR{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}$=$((a-R{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}$=$(a-R{)}^3$(8-4)而不是$(R-a{)}^3$,这两个正负就不一样
        • 虽然$t$=$(a-R{)}^2$=$(R-a{)}^2$,但是$t^{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{t^3}$结果是非负的
        • 因此,虽然$((a-R{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}$或者写成$((R-a{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}$都是正确的有意义的,但是计算$m=[(a-R{)}^2{]}^{\frac{1}{2}}$的结果是$|a-R|$=$|R-a|$,一定要加绝对值(除非提前知道$a-R$是正数)
        • 本例中$a>R$,所以$m$=$a-R$
      • 将(8-1),(8-3)代入式(8),得${\int }_{-R}^R\frac{a-z}{\sqrt{R^2+a^2-2az}}\mathrm{d}z$=$\frac{1}{a}[4aR-(2aR+\frac{2R^3}{3a})]$=$2R-\frac{2R^3}{3a^2}$(8-5)

  • 将式(8-5)代入式(6),得${\mathbf{F}}_z$=$2\pi G\rho (-2R+2R-\frac{2R^3}{3a^2})$=$-\frac{4\pi R^3}{3}\rho (\frac{G}{a^2})$(9)

    • 若令$M$=$\frac{4\pi R^3}{3}\rho$(即球体的质量(体积乘以密度的结果))
    • 则${\mathbf{F}}_z$=$-G\frac{M}{a^2}$(9-1)

• 综上,$\mathbf{F}$=${\mathbf{F}}_z$=$-G\frac{M}{a^2}$

• 小结:有一定计算量,特别是式(8-4)在计算过程中要注意