正项级数级数自身通项的审敛法@比值判别法@根值判别法
正项级数自身通项的审敛法
- 这部分讨论的级数是正项级数
- 对于正项常数项级数 ∑ i = 1 ∞ u n \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_n i=1∑∞un
比值判别法
-
也称为达朗贝尔(d’Alembert)判别法
-
设 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infin}u_{n} ∑n=1+∞un为正项级数,若, ρ = lim n → ∞ u n + 1 u n \rho=\lim\limits_{n\to{\infin}}\frac{u_{n+1}}{u_n} ρ=n→∞limunun+1,
(1),显然 ρ > 0 \rho>0 ρ>0- ρ < 1 , S ( u ) \rho<1,S(u) ρ<1,S(u)收敛
-
ρ
>
1
,
S
(
u
)
\rho>1,S(u)
ρ>1,S(u)发散
- 包括 ρ → + ∞ \rho\to{+\infin} ρ→+∞的情形
- ρ = 1 , S ( u ) \rho=1,S(u) ρ=1,S(u)不确定(敛散性待定)
证明
-
结论1:
- 当
ρ
<
1
\rho<1
ρ<1,取一个适当(足够)小的正数
ϵ
\epsilon
ϵ,使得
ρ
+
ϵ
=
r
<
1
\rho+\epsilon=r<1
ρ+ϵ=r<1;根据极限的定义,
∃
m
∈
N
+
\exist{m}\in\mathbb{N_{+}}
∃m∈N+,当
n
⩾
m
n\geqslant{m}
n⩾m时,总有有不等式
u
n
+
1
u
n
<
ρ
+
ϵ
=
r
\frac{u_{n+1}}{u_{n}}<\rho+\epsilon=r
unun+1<ρ+ϵ=r
(2),即 u n + 1 < r u n u_{n+1}<ru_{n} un+1<run(2-0) - 分别用
n
=
m
,
m
+
1
,
m
+
2
,
⋯
,
m
+
k
n=m,m+1,m+2,\cdots,m+k
n=m,m+1,m+2,⋯,m+k代入(2),得到一系列不等式:
-
u
m
+
1
<
r
u
m
u_{m+1}<ru_{m}
um+1<rum
(2-1) -
u
m
+
2
<
r
u
m
+
1
u_{m+2}<ru_{m+1}
um+2<rum+1,
(2-2) -
u
m
+
3
<
r
u
m
+
2
u_{m+3}<ru_{m+2}
um+3<rum+2,
(2-3) - ⋯ \cdots ⋯
-
u
m
+
k
<
r
u
m
+
k
−
1
u_{m+k}<ru_{m+k-1}
um+k<rum+k−1
(2-k)
-
u
m
+
1
<
r
u
m
u_{m+1}<ru_{m}
um+1<rum
- 由(2-1),得
u
m
+
2
<
r
u
m
+
1
<
r
(
r
u
m
)
=
r
2
u
m
u_{m+2}<ru_{m+1}<r(ru_{m})=r^2u_{m}
um+2<rum+1<r(rum)=r2um
(2-2-1) - 类似的,将(2-2-1)代入(2-3),
u
m
+
3
<
r
u
m
+
2
<
r
(
r
2
u
m
)
=
r
3
u
m
u_{m+3}<ru_{m+2}<r(r^2u_{m})=r^{3}u_{m}
um+3<rum+2<r(r2um)=r3um
(2-3-1) - ⋯ \cdots ⋯
-
u
m
+
k
<
r
k
u
m
u_{m+k}<r^{k}u_{m}
um+k<rkum
(2-k-1) - 而级数 ∑ n = 1 ∞ r k u m \sum_{n=1}^{\infin}r^{k}u_{m} ∑n=1∞rkum是等比级数,且公比 r < 1 r<1 r<1,是个收敛级数,由比较审敛法和级数的性质, ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_{n} ∑n=1∞un收敛
- 当
ρ
<
1
\rho<1
ρ<1,取一个适当(足够)小的正数
ϵ
\epsilon
ϵ,使得
ρ
+
ϵ
=
r
<
1
\rho+\epsilon=r<1
ρ+ϵ=r<1;根据极限的定义,
∃
m
∈
N
+
\exist{m}\in\mathbb{N_{+}}
∃m∈N+,当
n
⩾
m
n\geqslant{m}
n⩾m时,总有有不等式
u
n
+
1
u
n
<
ρ
+
ϵ
=
r
\frac{u_{n+1}}{u_{n}}<\rho+\epsilon=r
unun+1<ρ+ϵ=r
-
结论2
- 当
ρ
>
1
\rho>1
ρ>1,取一个适当小的正数
ϵ
\epsilon
ϵ,使得
ρ
−
ϵ
>
1
\rho-\epsilon>1
ρ−ϵ>1,根据极限定义,
∃
m
∈
N
+
\exist{m}\in\mathbb{N_{+}}
∃m∈N+,当
n
⩾
m
n\geqslant{m}
n⩾m时,有不等式:
u
n
+
1
u
n
>
ρ
−
ϵ
>
1
\frac{u_{n+1}}{u_{n}}>\rho-\epsilon>1
unun+1>ρ−ϵ>1
(3),变形可得 u n + 1 > u n u_{n+1}>u_{n} un+1>un(3-0) - 这表明,级数的一般项
u
n
u_{n}
un是随
n
n
n的增大而增大,且
u
n
>
0
u_{n}>0
un>0,从而
lim
n
→
∞
u
n
≠
0
\lim\limits_{n\to{\infin}}{u_{n}}\neq{0}
n→∞limun=0
(3-1)- 可能出现 lim n → ∞ u n = a > 0 \lim\limits_{n\to{\infin}}u_{n}={a}>0 n→∞limun=a>0的情况,但是 a ≠ 0 a\neq{0} a=0,由极限的保号性可知
- 根据级数收敛的必要条件,可知级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_{n} ∑n=1∞un发散
- 类似的可以证明 ρ → ∞ \rho\to{\infin} ρ→∞时 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_{n} ∑n=1∞un发散
- 当
ρ
>
1
\rho>1
ρ>1,取一个适当小的正数
ϵ
\epsilon
ϵ,使得
ρ
−
ϵ
>
1
\rho-\epsilon>1
ρ−ϵ>1,根据极限定义,
∃
m
∈
N
+
\exist{m}\in\mathbb{N_{+}}
∃m∈N+,当
n
⩾
m
n\geqslant{m}
n⩾m时,有不等式:
u
n
+
1
u
n
>
ρ
−
ϵ
>
1
\frac{u_{n+1}}{u_{n}}>\rho-\epsilon>1
unun+1>ρ−ϵ>1
-
结论3
-
ρ
=
1
\rho=1
ρ=1时,级数可能收敛也可能发散,例如:
p
p
p级数
∑
n
=
1
∞
1
n
p
\sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n^{p}}
∑n=1∞np1
(4),无论 p p p取何值,总有- ρ = lim n → ∞ u n + 1 u n \rho=\lim\limits_{n\to{\infin}}\frac{u_{n+1}}{u_n} ρ=n→∞limunun+1= lim n → ∞ 1 ( n + 1 ) p 1 n p \lim\limits_{n\to{\infin}}\frac{\frac{1}{(n+1)^{p}}}{\frac{1}{n^{p}}} n→∞limnp1(n+1)p1= 1 1 1
- 而当 p > 1 p>1 p>1时级数(4)收敛, p ⩽ 1 p\leqslant{1} p⩽1时级数(4)发散,因此 ρ = 1 \rho=1 ρ=1无法做出级数敛散性判断
-
ρ
=
1
\rho=1
ρ=1时,级数可能收敛也可能发散,例如:
p
p
p级数
∑
n
=
1
∞
1
n
p
\sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n^{p}}
∑n=1∞np1
根值判别法👺
- 根值判别法也称为柯西判别法
-
ρ
\rho
ρ=
lim
n
→
∞
u
n
n
\lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt[n]{u_{n}}
n→∞limnun=
lim
n
→
∞
u
n
1
n
\lim\limits_{n\to{\infin}}{u_{n}}^{\frac{1}{n}}
n→∞limunn1
- ρ < 1 , S ( u ) \rho<1,S(u) ρ<1,S(u)收敛
-
ρ
>
1
,
S
(
u
)
\rho>1,S(u)
ρ>1,S(u)发散
- 包括 ρ → + ∞ \rho\to{+\infin} ρ→+∞的情形
- ρ = 1 , S ( u ) \rho=1,S(u) ρ=1,S(u)不确定
- Note:虽然成为根值判别法,但是注意是 n n n次方根,而不是平方根
- 证明过程和比值审敛法类似
积分判别法
-
f ( x ) f(x) f(x)是 [ 1 , + ∞ ] [1,+\infin] [1,+∞]上的单调递减的非负连续函数
-
a n = f ( n ) , n ∈ N ∗ a_n=f(n),n\in\mathbb{N^*} an=f(n),n∈N∗
-
∑ n = 1 ∞ a n 和 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \sum\limits_{n=1}^{\infin}a_n和\int_{1}^{+\infin}f(x)\mathrm dx n=1∑∞an和∫1+∞f(x)dx具有一致的敛散性
-
比值或根式判别法应用于幂级数*
- 某些幂级数的敛散性或收敛半径利用本节方法求解
- 幂级数的自变量取值确定后就称为常数项级数,但是注意可能不再是正项级数,作比值时要加上绝对值,
- 察满足绝对收敛的收敛半径,详见函数项级数幂级数相关章节
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