2. 湍流的统计描述

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2 .1 Preliminaries

尽管 NS 方程是确定的，但是在湍流中速度场 \(\mathbf{U}(\mathbf{x}, t)\left[\mathrm{~ms}^{-1}\right]\) 是随机的，主要原因有以下两点：

1. 在初始条件，边界条件和材料性质上，会不可避免地有一些小的扰动
2. 湍流场对这种扰动非常敏感
   一个简单的例子就是，一个乒乓球运动员每次发球的时候非常小的变化，就会让发球后的轨迹非常不一样。

对于层流来说，这种影响并不大，所以能够很精确地通过求解 NS 方程得到置信度很高的解。但是在湍流中，由于 \(\mathbf{U}(\mathbf{x}, t)\left[\mathrm{~ms}^{-1}\right]\) 是随机的，其精确值很难预测。但是，可以建立一套理论来描述随机变量场的概率，或者其统计规律（如平均值，标准差）。

2.2 均值和矩

随机量 \(U\) 的平均值可定义为：

\[\langle U\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} V f(V) d V \]

其中 \(f(V)\) 为概率密度函数 (probability density function)。

更一般的情况，如果 \(Q(U)\) 是 \(U\) 的任意一个函数，则 \(Q(U)\) 的均值为：

\[\langle Q(U)\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} Q(V) f(V) d V \]

若 \(Q(U)\) 和 \(R(U)\) 均为随机变量 \(U\) 的函数，则满足以下方程：

\[\langle[a Q(U)+b R(U)]\rangle=a\langle Q(U)\rangle+b\langle R(U)\rangle \]

即：\(\langle \rangle\) 很类似线性算子。\(U\) 的脉动 (fluctuation) 可记为 \(u\)，定义为：

\[u \equiv U-\langle U\rangle \]

注：在湍流的知识体系中，一般用大写字母 \(U\) 表示随机量，小写字母 \(u\) 表示脉动量.

方差被定义为脉动量的均方 (mean square)：

\[\left\langle u^{2}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}(V-\langle U\rangle)^{2} f(V) d V \]

方差 (variance) 的平方根 (square-root) 为标准差 (standard deviation)，可记为：\(\left\langle u^{2}\right\rangle^{1 / 2}\)。在一些教科书中，fluctuation 被表示为 \(u'\)，标准差表示为 \(\sigma_{u}\)

\(n\) 阶中心矩 (central moment)可定义为：

\[\mu_{n} \equiv\left\langle u^{n}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}(V-\langle U\rangle)^{n} f(V) d V \]

2.3 标准化

标准化后的随机变量，均值为 \(0\) 方差为 \(1\)：

\[\hat{U} \equiv(U-\langle U\rangle) / \sigma_{u} \]

其概率密度函数 (PDF) 为：

\[\hat{f}(\hat{V})=\sigma_{u} f\left(\langle U\rangle+\sigma_{u} \hat{V}\right) \]

\(\hat{U}\) 的矩(moments)，也被称为 \(U\) 的标准矩 (standardized moments)为：

\[\hat{\mu}_{n}=\frac{\left\langle u^{n}\right\rangle}{\sigma_{u}^{n}}=\frac{\mu_{n}}{\sigma_{u}^{n}}=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{V}^{n} \hat{f}(\hat{V}) d \hat{V} \]

2.4 联合随机变量

单个随机变量 \(U\) 的概念可以扩展至多个随机变量中。比如速度的分量 \((U_{1},U_{2}, U_{3})\) 表示三个随机变量。联合概率密度函数(joint probability density function, JPDF) 两个或多个随机变量的密度函数 \(f(V_{1},V_{2})\)。\(U_{1}\) 和 \(U_{2}\) 之间的协方差为混合二阶矩可写为：

\[\left\langle u_{1} u_{2}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\left(V_{1}-\left\langle U_{1}\right\rangle\right)\left(V_{2}-\left\langle U_{2}\right\rangle\right) f_{12}\left(V_{1}, V_{2}\right) d V_{1} d V_{2} \]

其中相关系数(correlation coefficient)为：

\[\rho_{12} \equiv \frac{\left\langle u_{1} u_{2}\right\rangle}{\left[\left\langle u_{1}^{2}\right\rangle\left\langle u_{2}^{2}\right\rangle\right]^{1 / 2}} \]

2.5 正态分布和联合正态分布

中心极限定理(central-limit theorem) 和高斯分布(Gaussian distribution) 在概率论和统计里极为重要。首先要明确几个概念。
系综平均 (ensemble average)：假设 \(U\) 是可重复湍流实验在某时刻 \(t\) 某位置 \(\mathbf{x}\) 的速度分量，\(U^{(n)}\) 为第 \(n\) 次实验结果。随机变量 \(\left\{U^{(1)}, U^{(2)}, U^{(3)}, \ldots, U^{(N)}\right\}\) 独立同分布。系综平均为：

\[\langle U\rangle_{N} \equiv \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} U^{(n)} \]

通俗来说：同样的时间，地点，多次做实验的平均值。

系综平均是有限次实验的均值，和随机变量的平均值 \(\langle U\rangle\)不是一个概念。其均值和方差为：

\[\begin{array}{c} \left\langle\langle U\rangle_{N}\right\rangle=\langle U\rangle, \\ \left\langle\left(\langle U\rangle_{N}-\langle U\rangle\right)^{2}\right\rangle=\frac{\sigma_{u}^{2}}{N} . \end{array} \]

可以将系综平均标准化，均值为 \(0\) 方差为 \(1\)：

\[\hat{U}=\left[\langle U\rangle_{N}-\langle U\rangle\right] N^{1 / 2} / \sigma_{u} \]

中心极限定理：当观测次数 \(N\to \infty\)，\(\hat{U}\) 的 PDF 趋向于正态分布，又名高斯分布 Gaussian distribution or normal distribution。

\[\hat{f}(V)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{1}{2} V^{2}\right) \]

这是一个非常重要的概念，它表明不管波动本身的分布是什么样的，但是标准化后的系综平均的波动量是遵循同一个分布的。

3.6 随机过程

很多时候很难做系综平均，因为有些实验很难重复。此时需要发展描述同一个实验中，随机量随时间变化的理论，比如速度随时间的变化 \(U(t)\)。这种有时间依赖的随机变量被称为随机过程 (random process).

statistically stationary: 统计规律与时间无关。

对于一个 statistically stationary process，最简单的多时间统计量为自协方差 (autocovariance)：

\[R(s) \equiv\langle u(t) u(t+s)\rangle \]

流场中的量是在同一位置不同时间上测量的。需要注意的是，上式不是时间 \(t\) 的函数，是时间间隔 \(s\) 的函数。

上式正则化后被称为自相关函数 (autocorrelation function)：

\[\rho(s) \equiv \frac{\langle u(t) u(t+s)\rangle}{\left\langle u(t)^{2}\right\rangle} \]

其中，\(u(t) \equiv U(t)-\langle U(t)\rangle\left[\mathrm{ms}^{-1}\right]\) 为速度的脉动。自相关函数是方程本身在时间 \(t\) 和时间 \(t+s\) 上的相关系数，所以 \(\rho(0)=1\)，\(\rho(s>0) \leq 1\)。

通过自相关的概念能够导出积分时间尺度 (integral timescale)：

\[\bar{\tau}=\int_{0}^{\infty} \rho(s) d s \]

积分时间尺度代表了整个流场的全局记忆，反应了流场前期时间对后期影响的大小。

自协方差(autocovariance)和频谱 \(E(\omega)\) 的二倍可组成一个傅里叶变换对(Fourier transform pair)：

\[\begin{aligned} E(\omega) & \equiv \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} R(s) e^{-i \omega s} d s \\ & =\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} R(s) \cos (\omega s) d s \end{aligned} \]

和

\[\begin{aligned} R(s) & \equiv \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} E(\omega) e^{i \omega s} d \omega \\ & =\int_{0}^{\infty} E(\omega) \cos (\omega s) d \omega \end{aligned} \]

其中，\(\omega=2 \pi f\left[\operatorname{Rads}^{-1}\right]\) 为频率。

在频率范围 \(\omega_{a} < \omega < \omega_{b}\) 内，积分：

\[\int_{\omega_{a}}^{\omega_{b}} E(\omega) d \omega \]

为在 \(\omega_{a} < \omega < \omega_{b}\) 范围的模态对方差 \(\left\langle u(t)^{2}\right\rangle\left[\mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}\right]\) 的贡献。给定频谱可以很方便地计算方差：

\[R(0)=\left\langle u(t)^{2}\right\rangle=\int_{0}^{\infty} E(\omega) d \omega \]

可以在频谱和自相关函数之间建立另一种关系:

\[\bar{\tau}=\frac{\pi E(0)}{2\left\langle u(t)^{2}\right\rangle} \]

所有的随机过程均可微分，湍流中随机过程的微分根据定义可写为：

\[\frac{d U(t)}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{U(t+\Delta t)-U(t)}{\Delta t}\right) \]

也可以计算随机过程微分的平均值:

\[\begin{aligned} \left\langle\frac{d U(t)}{d t}\right\rangle & =\left\langle\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{U(t+\Delta t)-U(t)}{\Delta t}\right)\right\rangle \\ & =\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{\langle U(t+\Delta t)\rangle-\langle U(t)\rangle}{\Delta t}\right) \\ & =\frac{d\langle U(t)\rangle}{d t} . \end{aligned} \]

这一结论非常重要：随机过程的导数的平均值等于随机过程的平均值的导数

3.7 随机场

湍流中的速度 \(\mathbf{U}(\mathbf{x}, t)\) 为与时间相关的随机向量场。速度脉动(velocity field)场可以定义为：

\[\mathbf{u}(\mathbf{x}, t) \equiv \mathbf{U}(\mathbf{x}, t)-\langle\mathbf{U}(\mathbf{x}, t)\rangle \]

同一位置，同一时刻，速度脉动分量之间的协方差 (covariance) 为 \(\langle u_{i}(\mathbf{x}, t) u_{j}(\mathbf{x}, t)\rangle\)。协方差和自协方差 (autocovariance)不是一个概念，自协方差是同一位置，不同时刻。

速度场的方差被称为雷诺应力 \(\langle u_{i}u_{j} \rangle\)，与位置 \(\mathbf{x}\) 和时间 \(t\) 相关。

湍流速度场在时间和空间上也是可微分的：

\[\begin{array}{l} \left\langle\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right\rangle=\frac{\partial\left\langle U_{i}\right\rangle}{\partial t}\\ \left\langle\frac{\partial U_{i}}{\partial x_{j}}\right\rangle=\frac{\partial\left\langle U_{i}\right\rangle}{\partial x_{j}} \end{array} \]

3.8 Statistically Stationary, Homogeneous, and Axisymmetric Turbulent Flows

statistically stationary: 表示随机场 \(\mathbf{U}(\mathbf{x},t)\) 的统计规律随时间不变。
statistically homogeneous: 表示随机场 \(\mathbf{U}(\mathbf{x},t)\) 的统计规律与位置无关。
statistically axisymmetric: 表示随机场 \(\mathbf{U}(\mathbf{x},t)\) 的统计规律与圆周坐标无关。

3.9 各向同性和各向异性湍流

一个 statistically homogeneous 的随机场 \(\mathbf{U}(\mathbf{x},t)\) 的统计规律平移不变。如果其统计规律随着坐标系的旋转和反射也保持不变，这个流场就是统计各向同性 (statistically isotropic)。对于一个 statistically isotropic 场，因为雷诺应力与坐标系的旋转无关，所以 \(\left\langle u_{1} u_{2}\right\rangle=\left\langle u_{1} u_{3}\right\rangle=\left\langle u_{2} u_{3}\right\rangle\left[\mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}\right]\) 。否则这个场被称为统计各向异性 (statistically anisotropic)。

大部分湍流理论都是围绕这一概念展开的。事实上，许多湍流模型都假设统计各向同性条件是有效的。然而，大多数湍流都偏离了各向同性条件。

3.10 两点相关性

两点在同一时间的自协方差可定义为：

\[R_{i j}(\mathbf{r}, \mathbf{x}, t) \equiv\left\langle u_{i}(\mathbf{x}, t) u_{j}(\mathbf{x}+\mathbf{r}, t)\right\rangle \]

也被称为两点相关性 (two-point correlation)。

通过这一统计量，可以定义积分尺度 (integral length-scale):

\[L_{11}(\mathbf{x}, t) \equiv \frac{1}{R_{11}(0, \mathbf{x}, t)} \int_{0}^{\infty} R_{11}\left(\mathbf{e}_{1} r, \mathbf{x}, t\right) d r \]

其中 \(\mathbf{e}_{1}\) 为 \(x_{1}\) 方向上的单位向量。

积分尺度的一些注解：
本质上，它着眼于过程的整体记忆，以及它如何受到先前位置和参数的影响。一个直观的例子是雷诺数非常低的流动，例如层流，其中的流动是完全可逆的，因此与以前的粒子位置完全相关。这一概念可以扩展到湍流，在湍流中，它可以被认为是粒子受其先前位置影响的时间。

3.11 Wavenumber Spectral

波数是波的空间频率，以单位距离的周期或单位距离的弧度为单位。即指定距离上存在的波的数量，可以被定义为：

\[\begin{align} |\boldsymbol{\kappa}| &=\frac{1}{\lambda} \\ |\kappa| &=\frac{2 \pi}{\lambda} \end{align} \]

其中，\(\lambda\) 为波数向量 \(\boldsymbol{\kappa}\) 方向上的波长。

在两点同一时间的自协方差 \(R_{ij}(\mathbf{r},\mathbf{x},t)\) 和速度谱张量(velocity spectrum tensor) \(\Phi_{i j}(\boldsymbol{\kappa}, t)\left[\mathrm{m}^{5} \mathrm{~s}^{-2}\right]\) 之间也能建立傅里叶变换对：

\[\Phi_{i j}(\boldsymbol{\kappa}, t)=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \iiint_{-\infty}^{\infty} e^{-i \kappa \cdot \mathbf{r}} R_{i j}(\mathbf{r}, t) d \mathbf{r} \]

和

\[R_{i j}(\mathbf{r}, t)=\iiint_{-\infty}^{\infty} e^{i \kappa \cdot \mathbf{r}} \Phi_{i j}(\boldsymbol{\kappa}, t) d \boldsymbol{\kappa} \]

其中，\(d\mathbf{r}=dr_{1}dr_{2}dr_{3}\) 且 \(d \boldsymbol{\kappa} = d \kappa_{1} d \kappa_{2} d \kappa_{3}\)。
注：
上述关系中假设 \(R_{i j}(\mathbf{r}, t)\) 与 \(\mathbf{x}\) 无关，即流场为各项同性湍流。假设 \(\mathbf{r}=0\) ，上式得到雷诺应力：

\[R_{i j}(0, t)=\left\langle u_{i} u_{j}\right\rangle=\iiint_{-\infty}^{\infty} \Phi_{i j}(\boldsymbol{\kappa}, t) d \boldsymbol{\kappa} \]

速度谱张量(velocity spectrum tensor) \(\Phi_{i j}(\boldsymbol{\kappa}, t)\left[\mathrm{m}^{5} \mathrm{~s}^{-2}\right]\) 代表波数 \(\boldsymbol{\kappa}\) 条件下对速度协方差 \(\langle u_{i}u_{j} \rangle\) 的贡献。

3.12 各种平均的类型

在湍流中，速度向量的均值是 PDF 的函数：

\[\langle U(t)\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} V f(V ; t) d V \]

但是在湍流中，速度的 PDF 一般来说是未知的，所以需要各种类型的平均来估计平均速度 \(\langle U(t)\rangle\)。

系综平均 ensemble average：做 N 次实验，取 N 次实验的平均值

\[\langle U(t)\rangle_{N} \equiv \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} U^{(n)}(t) \]

时间平均 time average：

\[\langle U(t)\rangle_{T} \equiv \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} U\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \]

空间平均 spatial average：

\[\langle U(t)\rangle_{\mathcal{L}} \equiv \frac{1}{\mathcal{L}^{3}} \iiint_{0}^{\mathcal{L}} U(\mathbf{x}, t) d x_{1} d x_{2} d x_{3} \]