【数理统计】概率统计

一、古典概型与几何概型

1.1古典概型与几何概型特征

1）共同点：等可能性（每个事件发生的概率相同）

2）区别：

• 古典概型的样本空间是一个有限集。
  
• 几何概型可以是无限集，但它可以用几何区域来表示
  

1.2公式

1）古典概型：

已知基本事件个数n与事件A所包含的结果数m，然后代入公式：

即为事件A的概率。

2）几何概型：使用有度量（长度、面积、体积等）的几何区域表示：

1.3求解步骤

1.3.1古典概型

1）判断事件是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件；

2）利用列举法等方法计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；

3）计算事件中A的概率

1.3.2几何概型

1）把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来，其中又分两类：

        a、样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的几何区域题目中已给出

        b、样本空间所求事件所对应的几何区域没有直接给出，找出它们成为解这类几何概率题的关键。方法是先引进变量，然后用代数公式表示变量间的关系，再绘图根据几何形状求解。

2）在坐标系中把几何图形画出来

3）根据图像按照古典概型公式求解

例：

二、条件概率与贝叶斯

2.1定义

2.1.1条件概率

2.1.2乘法公式

由此可得到：

例：

注：当A属于B的时候，P（A）=P（AB）

2.1.3全概率公式：

1）原理：乘法公式的扩展

设是两个事件,那么可以表示为

 

显然,,如果则

由此可得：

2）定义：

设试验E的样本空间,为的事件, 为的一个分割,且 ,则

上式被称为全概率公式。

例：

答

2.1.4贝叶斯公式

设试验的样本空间,为的事件, 为的一个分割,且 ,则

上式称为贝叶斯公式。

证明：

2.1.5独立事件

1）两个事件的独立

注：此时P（A|B）=P（A）=P（AB）/ P（B）

2）多个事件的独立

3）n重伯努利试验（n重独立重复试验）

二项式定理：

对于伯努利概型，事件A在n次试验中发生k次的概率为

2.2条件概率中的P（B|A）特征（全概率公式和贝叶斯公式）

共同点：都是由条件概率和乘法公式推广得到的

区别：

• 全概率公式求解的是P（B），其中A被分解为A=A1+A2+...An的集合，由此分解P（B）=P（A1B）+P（A2B）+...P（AnB）来求解。
  
• 贝叶斯公式求解的是P（Bi|A），其被称为后验概率，P（A）被称为先验概率。可以这样理解为：导致P（A）发生的因素有很多种，B=B1+B2+...+Bn，其中由Bi导致A发生的概率就是后验概率。它可以用来分析各种前提因素的重要性。
  

三、大数定律与中心极限定理

3.1大数定理

多个随机变量的算数平均μ渐近

3.2中心极限定理

当n充分大时，独立同分布的随机变量X1，X2，...，Xn，且E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2>0，则这些随机变量的和服从正态分布：

这些随机变量和的均值服从正态分布：

而

四、参数估计与假设检验

、

4.1参数估计

4.1.1点估计

1）矩估计

2）最大似然数估计

4.1.2估计的评价标准

1）无偏性

2）有效性

3）相合性

4.1.2区间估计

置信水平（置信度）：1-α

4.2假设检验

显著水平：α，取0.05，0.01和0.1

4.3参数估计和假设检验的异同

4.3.1共同点

原理都是由下式正态分布规律得到的：

4.3.2区别

• 参数估计认为均值X（ba）落入在横坐标轴区间（-z_α/2，z_α/2）的概率是1-α
  

由此得到估计区间：

• 假设检验认为X（ba）落入在横坐标轴区间（0，-z_α/2）和（z_α/2，0）的事件属于小概率事件，对于给定的小概率α（0<α<1）有：
  

若（拒绝域）成立，则拒绝原假设H0，接收H1，否则没有充分的理由拒绝H0，应该认可H0。

4.3.3求解步骤

• 参数估计：
  

1、选定一个轴枢量：分布已知的z（x1，x2，...，θ）

2、确定置信区间：P{-z_α/2<z（x1，x2，...，θ）<z_α/2}=1-α

3、化简得到：P{θ1（x1，x2，...，xn）<θ<θ1（x1，x2，...，xn）}=1-α，则得到参数的区间估计（θ1，θ2）

• 假设检验：
  

1、提出原假设H0，以及备选（被择）假设H1。（其中H0和H1是对立的）

2、设原假设成立，并以此构造一个小概率的事件，其概率值为P=α

3、代入样本数据判断小概率事件是否发生，若发生则拒绝H0，认可H1。

附：排列组合公式

公式描述：公式中A(n,m)为排列数公式，C(n,m)为组合数公式。

参考资料：

1、刘安平，肖海军等，《概率论与数理统计》，科学出版社

2、郑州轻工业学院概率论与数理统计讲义：http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/gailvlunyushulitongjizhidao.htm

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