CF做题笔记

CF 874, Div 3

E - Round Dance

有 \(n\leq 2\times 10^5\) 个人，他们排成了若干个环。每个人只记得他左边或者右边其中一个人的编号，问环数量的最小值和最大值。

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相邻的人之间连一条无向边，dfs 遍历之后得到若干个环和链，大小大于等于 3 的环只能单独成环，而二元环和链可以随意拼接组合。设前一类有 cnt 个，后一类有 cct 个，那么在 \(cct\geq1\) 时，最少有 cnt+1 个环，最多有 cnt+cct 个环。

CF 876, Div 2

D - Ball Sorting

给定一个 \(n\leq 500\) 的小球序列，假设有 k 个 0 号小球放入序列中，其中在 0 号小球左右的小球可以随意拿出并插入序列中的其他位置，一次拿出算一次操作，问对于所有 \(k\leq n\)，其最小的操作次数是多少。

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首先不考虑小球的数量，假设有充足的小球，要求最少的移动次数，我们只需要拿出序列的最长上升子序列，这就是始终不会移动的小球的数量。
加上小球数量的限制。设始终不会移动的小球的集合为 \(S\)，显然集合需要满足单调上升，它们将整个序列分为 \(f(S)\) 段，那么就需要 \(f(S)\) 个小球来调整这些段里小球的顺序。
考虑使用 dp 来求解。设 \(f_{i,j}\) 表示 \(1\sim i\) 位，上升子序列将序列分成了 \(j\) 段，最大长度为 \(f_{i,j}\)，转移一下即可。

CF 877, Div 2

D - Bracket Walk

给定一个 \(n\leq 2\times 10^5\) 的括号序列，要求将一个光标从 1 移动到 n，光标可以向左右移动，每次移动都会将新的位置的括号记录下来，问是否存在这样一种移动方式，使得记录下的括号序列是匹配的。有 \(q\leq 2\times 10^5\) 次询问，每次询问修改一个位置的括号，回答是否存在满足上述条件的移动方式。

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1. 注意到每次将光标向前移再移回来，新增的括号个数一定为偶数，所以在 n 为奇数的括号序列就不存在一种方式合法。
2. 括号序列如果开头是 ），或者结尾是 （，那么这个序列也是不存在合法移动方式的。
3. 如果出现连续两个相同的括号，那么就可以产生任意多个该符号，后面有多少个与之相异的符号也不用去考虑。但如果连续两个 ）出现的位置比连续两个 （ 出现的位置要小，或者连续两个 （出现的位置比连续两个 ）出现的位置要大，也就无法匹配，不存在移动方式，反之则一定存在。

E - Count Supersequences

组成数字的区间在 \([1,k]\)，给定一个 \(n\leq 2\times 10^5\) 的序列，求有多少个长度为 \(m\leq 10^9\) 的序列，满足给定序列是其子序列。

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给定序列的组成对答案没有影响。考虑反推，假设最长匹配长度为 i，先用组合数确定选定的位置，那么剩余的每个位置为了保证匹配的位置，就只有 k-1 个选择，答案为 \(k^m-\Sigma_{i=0}^{n-1}C_m^i(k-1)^{m-i}\)。