具体数学 第一章 递归
具体数学 第一章
方法
解递归的包含各种组成部分的方法：首先，找出对于已知解设置的一般参数，这给出了我们能解的特殊情形的各种组成部分。然后把特殊情形结合起来得到一般情形，我们需要与独立参数一样多的独立的特殊解。
热身题-------解答
1.
当\(n=2\)时，区间\([2,n-1]\)为空，所以当\(n=2\)时不能证明2匹马颜色相同。
2.
三根柱子ABC。假设\(n\)个盘子的答案为\(f(n)\).最后一个盘子一定是A->C->B，所以整个过程分为5步：
（1）将上面\(n-1\)个盘子从A->C->B,即\(f(n-1)\);
（2）将第\(n\)个盘子放到C上；
（3）将B上的\(n-1\)个盘子通过C移动到A,即\(f(n-1)\);
（4）将C上的第\(n\)个盘子移动到B；
（5）最后将A上的\(n-1\)个盘子移动到B，即\(f(n-1)\)。
所以\(f(n)=3f(n-1)+2, f(1)=2\),所以\(f(n)=3^{n}-1\).
3.
三根柱子的证明是类似的。下面只证明第一根柱子。
数学归纳法：
（1）当\(n=1\)时，很明显，第一个柱子上出现过\(2^1=2\)种一个盘子的排列。
（2）假设\([1,n-1]\)时，都满足情况；
（3）对于\(n\) 个盘子的情况，在第二题的第一步开始到第一步结束过程中，第一根柱子上出现过\(n-1\)个盘子的所有排列，此时有第\(n\)个盘子；在第二题的第五步开始到结束，第一根柱子上仍然出现过\(n-1\)个盘子的所有排列，此时没有第\(n\)个盘子。所以所有\(n\)个盘子的排列都出现过。
4.
数学归纳法：
（1）\(n=1\)时显然有\(g(1) \le 2^{1}-1=1\)
（2）假设\([1,n-1]\)个都满足
（3）对于\(n\)个盘子，假设它在第三根上，那么\(g(n)=g(n-1)\);否则假设它在第二根柱子上，那么可以将其他的\(n-1\)个先移动到第一根柱子上，需要\(g(n-1)\)，然后将第\(n\)个盘子移动到第三根上，然后再把第一根柱子上的\(n-1\)个盘子移动到第三根上，需要\(2^{n-1}-1\)步，所以\(g(n)=g(n-1)+1+2^{n-1}-1 \le 2^{n-1}-1+1+2^{n-1}-1=2^{n}-1\)
5.
不能。因为两个圆最多两个交点，所以第四个圆最多跟前面的三个圆有6个交点，每个交点增加一个区域，所以最多有14个区域。
6.
三条直线组成三角形，有一个封闭区域。后面第\(i\)条直线与前面\(i-1\)条有\(i-1\)个交点，增加\(i-2\)个区域，所以答案为\(\sum_{i=3}^{n}(i-2)=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\)
7.
\(H(1)=J(2)-J(1)=0 \ne 2\)
作业题-------解答
8.
\(Q_{2}=\frac{1+\beta }{\alpha }\),\(Q_{3}=\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha \beta }\),\(Q_{4}=\frac{1+\alpha }{\beta }\),$Q_{5}=\alpha \(,\)Q_{6}=\beta $
9.
（a）
将\(x_{n}\)带入，明显等式成立。
（b）
由于\(P(n)\)成立，即\(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\leqslant (\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n})^{n}\)，所以有\(\prod_{i=n+1}^{2n}x_{i}\leqslant (\frac{\sum_{i=n+1}^{2n}x_{i}}{n})^{n}\)。将两个式子相乘得到：
\(\prod_{i=1}^{2n}x_{i}\leqslant (\frac{\sum_{i=1}^{2n}x_{i}}{n}\frac{\sum_{i=n+1}^{2n}x_{i}}{n})^{n}\)
而\(xy\leq (\frac{x+y}{2})^2\),所以$ \frac{\sum_{i=1}{2n}x_{i}}{n}\frac{\sum_{i=n+1}x_{i}}{n}\leq \left (\frac{\sum_{i=1}^{2n}x_{i}}{2n} \right )^{2}\(, 从而得到\)P(2n)$成立
（c）
\(P(2)\)->\(P(4)\)->\(P(3)\)->\(P(6)\)->...
最后关于这个不等式的证明。
设\(f(x)=e^{x-1}-x\),通过求导可以看出\(f(x)\)在\(x=1\)时取得最小值０，所以\(f(x)\geq 0\)，即\(x \leq e^{x-1}\)
对于要证明的式子，如果\(x_{i}=0\)，那么显然成立。下面假设都大于０．令\(a=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}>0\)，那么对任意的\(x_{i}\)有\(\frac{x_{i}}{a}\leq e^{\frac{x_{i}}{a}-1}\) .所有式子相乘得到：\(\frac{\prod_{i=1}^{n}x_{i}}{a^n}\leq e^{\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{a}-n}=e^{n-n}=1\),所以\(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\leq a^{n}=\left ( \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n} \right )^n\)
10.
对于一个环Ａ->B->C->A,\(Q_{n}\)表示A->B或者B->C或者C->A，而\(R_{n}\)表示A->B->C或者B->C->A或者C->A->B。
对于\(Q_{n}\)来说，分三步：
（１）将上面\(n-1\)个从Ａ->B->C;
（２）将第\(n\)个从A到B,
（３）将剩下的\(n-1\)个从C->A->B。所以\(Q_{n}=2R_{n-1}+1\)
对于\(R_{n}\)来说，分五步：
（１）将上面\(n-1\)个从Ｂ->C->A;
（２）将第\(n\)个从B到C,
（３）将A上的\(n-1\)个从Ａ->B,
（４）将Ｃ上的第\(n\)个放到A;
（５）将Ｂ上的\(n-1\)个从B->C->A.
所以\(R_{n}=R_{n-1}+1+Q_{n-1}+1+R_{n-1}=Q_{n}+Q_{n-1}+1\)
11.
（a）令\(P_{n}\)表示\(2n\)个圆盘从A移动到C的解.分为三步：
(1)将上面的\(2(n-1)\)个从A挪到B，需要\(P_{n-1}\);
(2)将A上剩下的两个移动到C,需要两步;
(3)将B上的盘子移动到C,需要\(P_{n-1}\)。所以\(P_{n}=2P_{n-1}+2,P_{1}=2\),所以\(P_{n}=2^{n+1}-2\)
（b）设\(Q_{n}\)表示\(2n\)个盘子的答案，分为7步：
(1)将上面\(2(n-1)\)个盘子移动到C,需要\(P_{n-1}\);
(2)第大小为\(n\)的上面一个盘子移动到B;
(3)将C上的\(2(n-1)\)个盘子移动到B，需要\(P_{n-1}\);
(4)将最后一个盘子移动到C;
(5)将B的上面\(2(n-1)\)个盘子移动到A,需要\(P_{n-1}\);
(6)将B上的剩下的一个盘子移动到C;
(7)将A的\(2(n-1)\)个盘子移动到C,需要\(P_{n-1}\),所以\(Q_{n}=4P_{n-1}+3=2^{n+2}-5\)
12.
令\(F(m)\)表示移动\(m\)类，第\(i\)类个数为\(n_{i}\)的方案数。那么有：（1）\(F(1)=n_{1}\);(2)\(F(m)=2F(m-1)+n_{m}\)。所以\(F(m)=\sum_{i=1}^{m}2^{m-i}n_{i}\)
13.
令\(F(n)\)表示\(n\)个Z型线的答案。\(L(n)\)表示\(n\)条直线的答案。\(L(n)=\frac{n(n+1)}{2}+1\).首先将一个Z型线，看作三条直线，那么此时\(F(n)=L(3n)\)。但是一个Z型线比三条互不平行的直线少了5个区域，所以\(F(n)=L(3n)-5n=\frac{9n^{2}-7n}{2}+1\)
14.
\(L(n)\)表示\(n\)条直线在二维平面划分的区域的答案。那么在三维空间中，第\(n\)次切割所增加的块的个数就是这一次切割处的面上的区域数，所以\(P(n)=P(n-1)+L(n-1),P(1)=2\),所以\(P(n)=\frac{1}{6}(n+1)(n^{2}-n+6)\)
15.
首先\(I(2)=2,I(3)=1\).对于\(n>=4\)来说，
（1）如果\(n\)是偶数，那么第一轮将删掉2,4,6,...,n。下面重新从1开始计数，所以此时\(I(n)=2I(\frac{n}{2})-1\);
（2）如果\(n\)是奇数，那么第一轮可以删掉 2,4,6,...,\(n-1\),1,接下来从3开始计数，所以此时\(I(n)=2I(\frac{n-1}{2})+1\)。也可以这样写\(I(2)=2,I(3)=1,I(2n)=2I(n)-1,I(2n+1)=2I(n)+1, n\geq 2\)
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