！n 错排

错位排列（Derangement）的定义

错位排列（Derangement）是指一个排列中，没有任何一个元素出现在其原始位置的排列方式。例如，对于集合 ( {1, 2, 3} )，其所有排列为：

• ( (1, 2, 3) )（不是错位排列，因为所有元素都在原位）
• ( (1, 3, 2) )（不是错位排列，因为 1 在原位）
• ( (2, 1, 3) )（不是错位排列，因为 3 在原位）
• ( (2, 3, 1) )（是错位排列）
• ( (3, 1, 2) )（是错位排列）
• ( (3, 2, 1) )（不是错位排列，因为 2 在原位）

因此，( {1, 2, 3} ) 的错位排列数是 2。

错位排列数的数学表示

错位排列数通常记作 ( !n ) 或 ( D_n )，表示 ( n ) 个元素的错位排列数量。其数学性质如下：

1. 递推关系

错位排列数满足以下递推关系：
[
!n = (n - 1) \times (!(n - 1) + !(n - 2))
]
初始条件：

• ( !0 = 1 )（空排列视为一个有效的错位排列）
• ( !1 = 0 )（单个元素无法错位排列）

递推解释：

• 假设第 ( n ) 个元素不能放在第 ( n ) 个位置，那么它可以放在 ( n-1 ) 个其他位置。
• 如果第 ( n ) 个元素和第 ( k ) 个元素交换位置，剩下的 ( n-2 ) 个元素需要错位排列（( !(n-2) ) 种方式）。
• 如果第 ( n ) 个元素放在第 ( k ) 个位置，但第 ( k ) 个元素不能放在第 ( n ) 个位置，则剩下的 ( n-1 ) 个元素需要错位排列（( !(n-1) ) 种方式）。

2. 通项公式

错位排列数可以用容斥原理计算：
[
!n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right)
]
或者：
[
!n = \left\lfloor \frac{n!}{e} + \frac{1}{2} \right\rfloor
]
其中 ( e ) 是自然对数的底数（约 2.71828），( \lfloor \cdot \rfloor ) 表示向下取整。

3. 与 ( \frac{n!}{e} ) 的关系

由于：
[
!n \approx \frac{n!}{e}
]
并且：
[
!n = \left\lfloor \frac{n!}{e} + \frac{1}{2} \right\rfloor
]
因此，错位排列数 ( !n ) 是最接近 ( \frac{n!}{e} 的整数。

错位排列数的性质

1. 增长速度：

   • 错位排列数 ( !n ) 的增长速度与 ( n! ) 相同，但略小（约为 ( \frac{n!}{e} )）。
   • 当 ( n \to \infty )，( \frac{!n}{n!} \to \frac{1}{e} \approx 0.367879 )。

2. 模运算性质：

   • 由于 ( !n ) 通常非常大，计算时通常需要取模（如本题的 998244353）。
   • 递推关系 ( !n = (n - 1) \times (!(n - 1) + !(n - 2)) \mod P ) 可以高效计算。

3. 与排列数的关系：

   • 错位排列数是排列数的子集，即 ( !n \leq n! )。
   • 当 ( n \geq 1 )，( !n = n! - \text{至少有一个元素在原位的排列数} )。

错位排列的应用

1. 概率问题：

   • 在信封问题（Derangement Problem）中，假设 ( n ) 封信随机放入 ( n ) 个信封，求所有信都放错的概率。这个概率是 ( \frac{!n}{n!} \approx \frac{1}{e} )。

2. 密码学：

   • 某些加密算法需要构造错位排列，以确保没有元素保持不变。

3. 组合数学：

   • 错位排列是排列计数的重要例子，常用于研究限制性排列。

示例

计算 ( !4 )：

• ( !0 = 1 )
• ( !1 = 0 )
• ( !2 = (2 - 1) \times (!1 + !0) = 1 \times (0 + 1) = 1 )
• ( !3 = (3 - 1) \times (!2 + !1) = 2 \times (1 + 0) = 2 )
• ( !4 = (4 - 1) \times (!3 + !2) = 3 \times (2 + 1) = 9 )

验证：

• 4! = 24
• ( \frac{24}{e} \approx 8.829 )
• ( \left\lfloor 8.829 + 0.5 \right\rfloor = 9 )，与 ( !4 = 9 ) 一致。

总结

• 错位排列数 ( !n ) 是排列中没有任何元素在原始位置的排列方式数。
• 递推关系：( !n = (n - 1) \times (!(n - 1) + !(n - 2)) )
• 通项公式：( !n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} )
• 近似公式：( !n \approx \frac{n!}{e} )，且 ( !n = \left\lfloor \frac{n!}{e} + \frac{1}{2} \right\rfloor )
• 应用：信封问题、密码学、组合数学等。

本题的解法正是利用递推关系计算 ( !n \mod 998244353 )，避免了直接计算 ( n! ) 的不可行性。